Certo tipo de ave migra de uma região para outra durante o inverno. Elas voam durante dias e noites sem parar. Mas para diminuir a fadiga elas não podem voar em direções onde a temperatura sofra uma grande variação, acima de +- 4º C / km. Elas estão passando por uma região onde a temperatura é dada por T(x, y) = 60 - 2x^2 - y^2, sendo T dado em °C, x e y dado em km . Se elas estão em um ponto da região com coordenadas 1,2, diga se:
(a) elas estiverem voando em uma direção dada pelo vetor a = 2i + j, as mesmas sofrerão com a fadiga?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tipo de ave que migra e quer saber se, ao voar numa certa direção, ela vai ficar fatigada por causa das variações de temperatura. O assunto aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da temperatura na direção do vetor dado e ver se essa variação supera os que a ave pode suportar sem se cansar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada direcional da função de temperatura na direção do vetor no ponto . Para isso, precisamos calcular o gradiente de T, que nos dá a direção de maior aumento da temperatura.
A derivada parcial de T em relação a x é:
E a derivada parcial de T em relação a y é:
Então, o gradiente de T é:
No ponto , substituímos x = 1 e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção do vetor . Primeiro, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na mesma direção:
Então, o vetor unitário u na direção de a é:

Passo 4

A derivada direcional de T na direção de a é dada pelo produto escalar do gradiente de T com o vetor unitário u:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:

Resposta

Como a derivada direcional é aproximadamente , que está além do limite de , as aves que voarem na direção do vetor irão sofrer com a fadiga.

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