Certo tipo de ave migra de uma região para outra durante o inverno. Elas voam durante dias e noites sem parar. Mas para diminuir a fadiga elas não podem voar em direções onde a temperatura sofra uma grande variação, acima de
. Elas estão passando por uma região onde a temperatura é dada por
, sendo
dado em
e
dado em km . Se elas estão em um ponto da região com coordenadas
, diga se:
(a) elas estiverem voando em uma direção dada pelo vetor
, as mesmas sofrerão com a fadiga?
(a) elas estiverem voando em uma direção dada pelo vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tipo de ave que migra e quer saber se, ao voar numa certa direção, ela vai ficar fatigada por causa das variações de temperatura. O assunto aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da temperatura na direção do vetor dado e ver se essa variação supera os
que a ave pode suportar sem se cansar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada direcional da função de temperatura
na direção do vetor
no ponto
. Para isso, precisamos calcular o gradiente de
, que nos dá a direção de maior aumento da temperatura.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Então, o gradiente de
é:
No ponto
, substituímos
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção do vetor
. Primeiro, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na mesma direção:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
Resposta
Como a derivada direcional é aproximadamente
, que está além do limite de
, as aves que voarem na direção do vetor
irão sofrer com a fadiga.