Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = ln(|x|), |y| = 3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e .
O que precisamos:
  • Entender o que cada curva representa no gráfico.
  • Encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam.
  • Calcular a área entre elas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas:
  1. Curva :
    • É o gráfico da função logarítmica aplicada ao valor absoluto de .
    • Como o logaritmo de um número negativo não é definido, usamos o valor absoluto para garantir que seja positivo ou negativo, mas dentro do logaritmo sempre positivo.
  2. Curva :
    • Isso significa que ou .
    • São duas linhas horizontais, uma no topo em e outra na parte de baixo em .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam. Para isso, vamos igualar a e :
  1. Para :
    Resolver para :
    Então, ou .
  2. Para :
    Resolver para :
    Então, ou .
Então, temos quatro pontos de interseção: , , e .

Passo 4

Para calcular a área entre essas curvas, vamos considerar apenas uma parte e depois multiplicar pelo simétrico, já que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Vamos calcular a área entre e de a .
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Onde é a curva de cima e a de baixo.
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Á
Como varia de a , e estamos usando o valor absoluto, podemos simplificar para positivo:
Á
Multiplicamos por 2 para considerar ambos os lados positivos e negativos do eixo .

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Avaliada de a :
Á

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 8

Multiplicando por 2:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é:
Á

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