Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e .
O que precisamos:
Entender o que cada curva representa no gráfico.
Encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam.
Calcular a área entre elas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas:
Curva :
É o gráfico da função logarítmica aplicada ao valor absoluto de .
Como o logaritmo de um número negativo não é definido, usamos o valor absoluto para garantir que seja positivo ou negativo, mas dentro do logaritmo sempre positivo.
Curva :
Isso significa que ou .
São duas linhas horizontais, uma no topo em e outra na parte de baixo em .
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam. Para isso, vamos igualar a e :
Para :
Resolver para :
Então, ou .
Para :
Resolver para :
Então, ou .
Então, temos quatro pontos de interseção: , , e .
Passo 4
Para calcular a área entre essas curvas, vamos considerar apenas uma parte e depois multiplicar pelo simétrico, já que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Vamos calcular a área entre e de a .
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Onde é a curva de cima e a de baixo.
Aqui, e .
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Como varia de a , e estamos usando o valor absoluto, podemos simplificar para positivo:
Multiplicamos por 2 para considerar ambos os lados positivos e negativos do eixo .