Seja
.
(a) determine
de modo que
seja máximo.
(a) determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e o problema quer saber qual vetor
faz com que a derivada direcional
no ponto (-1, 1) seja a maior possível. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
:
Então, para encontrar
que maximiza essa derivada, precisamos encontrar o gradiente de
no ponto dado.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Então, o gradiente de
é:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto (-1, 1).
Passo 7
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Para que a derivada direcional seja máxima, o vetor
precisa estar na mesma direção do gradiente
. Além disso,
deve ser um vetor unitário, ou seja, ter magnitude 1.
Então, vamos normalizar o gradiente:
Calculando a magnitude de
:
Passo 9
Então, o vetor
é:
Ou seja,
é o vetor unitário na direção do gradiente.
Resposta
O vetor
que maximiza a derivada direcional
é: