Seja f(x, y)=1raiz1+x^2+y^2.
(a) determine u de modo que partial fpartial u(-1,1) seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e o problema quer saber qual vetor faz com que a derivada direcional no ponto (-1, 1) seja a maior possível. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função partial fpartial u = nabla f cdot u na direção de um vetor é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor :
Então, para encontrar que maximiza essa derivada, precisamos encontrar o gradiente de no ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando partial fpartial x = partialpartial x (1 + x^2 + y^2)^-1/2 = -12 (1 + x^2 + y^2)^-3/2 cdot 2x = -x(1 + x^2 + y^2)^3/2 :

Passo 5

Calculando partial fpartial y = partialpartial y (1 + x^2 + y^2)^-1/2 = -12 (1 + x^2 + y^2)^-3/2 cdot 2y = -y(1 + x^2 + y^2)^3/2 :

Passo 6

Então, o gradiente de nabla f = ( -x(1 + x^2 + y^2)^3/2, -y(1 + x^2 + y^2)^3/2 ) é:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto (-1, 1).

Passo 7

Substituindo nabla f(-1, 1) = ( --1(1 + (-1)^2 + 1^2)^3/2, -1(1 + (-1)^2 + 1^2)^3/2 ) = ( 1(1 + 1 + 1)^3/2, -1(3)^3/2 ) e nabla f(-1, 1) = ( 13^3/2, -13^3/2 ) = ( 13raiz3, -13raiz3 ) :
Simplificando:

Passo 8

Para que a derivada direcional seja máxima, o vetor u = nabla f(-1, 1)|nabla f(-1, 1)| precisa estar na mesma direção do gradiente |nabla f(-1, 1)| = raiz(13raiz3)^2 + (-13raiz3)^2 = raiz127 + 127 = raiz227 = raiz23raiz3 = 23raiz3 . Além disso, deve ser um vetor unitário, ou seja, ter magnitude 1.
Então, vamos normalizar o gradiente:
Calculando a magnitude de :

Passo 9

Então, o vetor u = 13raiz3 (1, -1) div raiz23raiz3 = 1raiz2 (1, -1) = ( 1raiz2, -1raiz2 ) é:
Ou seja, é o vetor unitário na direção do gradiente.

Resposta

O vetor u = ( 1raiz2, -1raiz2 ) que maximiza a derivada direcional é:

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