Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = 2 * raiz(x) de x = 1 a x = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da curva entre e . Esse problema está ligado ao cálculo de comprimentos de curvas, que faz parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e integrar a derivada da função ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e . A fórmula é:
Ou seja, precisamos encontrar a derivada da função , elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar de 1 a 2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Lembrando que , então:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então e quando , , e quando , .

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de substituição ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos calcular numericamente.

Passo 8

Calculando a integral numericamente:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é aproximadamente 2,295 unidades.

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