Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da curva
entre
e
. Esse problema está ligado ao cálculo de comprimentos de curvas, que faz parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e integrar a derivada da função ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Ou seja, precisamos encontrar a derivada da função
, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar de 1 a 2.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Lembrando que
, então:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e quando
,
, e quando
,
.
Passo 7
Com a substituição, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de substituição ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos calcular numericamente.
Passo 8
Calculando a integral numericamente:
Resposta
O comprimento do arco da curva
entre
e
é aproximadamente 2,295 unidades.