Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = |x|, y = (x + 1)^2 - 7, x = -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e pela reta vertical . Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo integral, que são ferramentas legais para encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A função é o gráfico em forma de “V”, simétrico em relação ao eixo y. A função é uma parábola que abre para cima, deslocada uma unidade para a esquerda e sete unidades para baixo. A reta é uma linha vertical que vai cortar essas curvas.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Como estamos lidando com o valor absoluto de , precisamos considerar dois casos: quando é positivo e quando é negativo.

Passo 4

Caso 1:
Aqui, . Então a equação fica:
Expandindo o lado direito:
Reorganizando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá ou . Como estamos no caso , apenas é válida.

Passo 5

Caso 2:
Aqui, . Então a equação fica:
Expandindo o lado direito:
Reorganizando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Aproximadamente, temos e . Como estamos no caso , consideramos .

Passo 6

Agora que encontramos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Além disso, sabemos que a reta também delimita a região. Observando os valores de , nossos limites de integração serão de a (já que é onde as curvas se cruzam no lado positivo).

Passo 7

Para encontrar a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores dentro dos limites determinados. Observando os gráficos, para entre e , a função está acima da parábola .
Então, a área é dada por:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Como estamos integrando de a , onde é negativo, . Portanto, a expressão fica:
Expandindo :

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a área é:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.

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