Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e pela reta vertical
. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo integral, que são ferramentas legais para encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A função
é o gráfico em forma de “V”, simétrico em relação ao eixo y. A função
é uma parábola que abre para cima, deslocada uma unidade para a esquerda e sete unidades para baixo. A reta
é uma linha vertical que vai cortar essas curvas.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Como estamos lidando com o valor absoluto de
, precisamos considerar dois casos: quando
é positivo e quando
é negativo.
Passo 4
Caso 1:
Aqui,
. Então a equação fica:
Expandindo o lado direito:
Reorganizando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá
ou
. Como estamos no caso
, apenas
é válida.
Passo 5
Caso 2:
Aqui,
. Então a equação fica:
Expandindo o lado direito:
Reorganizando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Aproximadamente, temos
e
. Como estamos no caso
, consideramos
.
Passo 6
Agora que encontramos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Além disso, sabemos que a reta
também delimita a região. Observando os valores de
, nossos limites de integração serão de
a
(já que
é onde as curvas se cruzam no lado positivo).
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores dentro dos limites determinados. Observando os gráficos, para
entre
e
, a função
está acima da parábola
.
Então, a área
é dada por:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Como estamos integrando de
a
, onde
é negativo,
. Portanto, a expressão fica:
Expandindo
:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades de área.