Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^4 - 2 x^2, y = 2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se intersectam e então integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as equações:
Isso vai nos dar os valores de onde as duas funções se cruzam.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, ou . Isso resulta em e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção ( ), vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra em cada intervalo. Vamos testar um valor de em cada intervalo:
  • Para :
    Então, está acima.
  • Para :
    Novamente, está acima.
  • Para :
    Aqui, está acima.

Passo 5

Com isso, identificamos que entre e , a curva está acima de . Fora desse intervalo, a situação se inverte. Porém, como queremos a área entre as curvas, vamos considerar apenas a região onde elas se cruzam, ou seja, de a .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções:
Simplificando o integrando:

Passo 7

Agora, vamos integrar:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 8

Vamos avaliar a antiderivada nos limites:
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 9

Calculando a diferença:
Portanto, a área é unidades de área.

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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