Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se intersectam e então integrar a diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as equações:
Isso vai nos dar os valores de
onde as duas funções se cruzam.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então,
ou
. Isso resulta em
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção (
), vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra em cada intervalo. Vamos testar um valor de
em cada intervalo:
-
Para
: Então,está acima. -
Para
: Novamente,está acima. -
Para
: Aqui,está acima.
Passo 5
Com isso, identificamos que entre
e
, a curva
está acima de
. Fora desse intervalo, a situação se inverte. Porém, como queremos a área entre as curvas, vamos considerar apenas a região onde elas se cruzam, ou seja, de
a
.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Agora, vamos integrar:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 8
Vamos avaliar a antiderivada nos limites:
Para :
Para
Para
:
Então, a diferença é:
Passo 9
Calculando a diferença:
Portanto, a área é
unidades de área.
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.