Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^3, y = raiz_cubica(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área das regiões que são limitadas pelas curvas e . Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença das funções nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Sabendo que é o mesmo que , temos:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados à potência 3 para eliminar a raiz cúbica:
Agora, trazemos tudo para um lado:
Isso nos dá as soluções ou . Como tem como soluções e , os pontos de interseção são .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos analisar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Entre e :
  • Vamos testar com : Aqui, está acima de .
Entre e :
  • Vamos testar com : Nesse caso, está acima de .

Passo 4

Com isso, podemos dividir a área total em duas partes:
  1. De a :
    Á
  2. De a :
    Á

Passo 5

Vamos calcular a Á:
Á
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Á
Calculando em :
Calculando em :
Então:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a Á:
Á
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Á
Calculando em :
Calculando em :
Então:
Á

Resposta

A área total das regiões limitadas pelas curvas e é unidade de área.

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