Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área das regiões que são limitadas pelas curvas
e
. Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença das funções nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Sabendo que
é o mesmo que
, temos:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados à potência 3 para eliminar a raiz cúbica:
Agora, trazemos tudo para um lado:
Isso nos dá as soluções
ou
. Como
tem como soluções
e
, os pontos de interseção são
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos analisar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Entre
e
:
- Vamos testar com
: Aqui, está acima de .
Entre
e
:
- Vamos testar com
: Nesse caso, está acima de .
Passo 4
Com isso, podemos dividir a área total em duas partes:
-
De
a : -
De
a :
Passo 5
Vamos calcular a
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Resposta
A área total das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidade de área.