Resolva o PVI,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial e uma condição inicial. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e que passa pelo ponto
.
Conteúdo da Matéria: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem, métodos de resolução e aplicação de condições iniciais.
O que vamos precisar para resolver:
- Reorganizar a equação diferencial para isolar
. - Identificar o tipo da equação diferencial para escolher o método de solução adequado.
- Aplicar o método escolhido passo a passo, explicando cada parte.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação dada para isolar
. A equação é:
Queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, isolamos o termo que multiplica
:
Agora, dividimos ambos os lados pelo fator que está multiplicando
:
Passo 3
Agora que temos
isolado, precisamos identificar o tipo de equação diferencial para escolher o método de resolução apropriado. Observamos que a equação envolve termos de
,
e funções de
como
e
.
Essa equação não é linear nem exata diretamente, mas podemos tentar simplificá-la ou encontrar um fator integrante que a torne solucionável.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é exata ou se pode ser transformada em exata. Para isso, reescrevemos a equação original na forma de uma equação diferencial exata:
Onde:
Para uma equação ser exata, a condição é:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata!
Passo 6
Sendo a equação exata, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Como
é constante em relação a
:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Daí, percebemos que
. Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na função potencial
:
Como a equação é exata,
. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Passo 11
Agora, substituímos
na equação geral:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar
de forma explícita, precisaríamos isolar
, mas isso pode não ser possível analiticamente. Portanto, a solução fica expressa implicitamente.
Resposta
A solução do problema é uma função implícita dada por: