Resolva o PVI,
{ y cos(x) + 2x e^y + (sen(x) + x^2 e^y - 3) y' = 0, y(0) = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial e uma condição inicial. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e que passa pelo ponto .
Conteúdo da Matéria: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem, métodos de resolução e aplicação de condições iniciais.
O que vamos precisar para resolver:
  • Reorganizar a equação diferencial para isolar .
  • Identificar o tipo da equação diferencial para escolher o método de solução adequado.
  • Aplicar o método escolhido passo a passo, explicando cada parte.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação dada para isolar . A equação é:
Queremos expressar em termos de e . Para isso, isolamos o termo que multiplica :
Agora, dividimos ambos os lados pelo fator que está multiplicando :

Passo 3

Agora que temos isolado, precisamos identificar o tipo de equação diferencial para escolher o método de resolução apropriado. Observamos que a equação envolve termos de , e funções de como e .
Essa equação não é linear nem exata diretamente, mas podemos tentar simplificá-la ou encontrar um fator integrante que a torne solucionável.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é exata ou se pode ser transformada em exata. Para isso, reescrevemos a equação original na forma de uma equação diferencial exata:
Onde:
Para uma equação ser exata, a condição é:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 5

Calculando :
Calculando :
Como , a equação é exata!

Passo 6

Sendo a equação exata, existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 7

Integrando em relação a :
Como é constante em relação a :

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando:
Daí, percebemos que . Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 9

Substituindo na função potencial :
Como a equação é exata, . Vamos chamar essa constante de :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :

Passo 11

Agora, substituímos na equação geral:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar de forma explícita, precisaríamos isolar , mas isso pode não ser possível analiticamente. Portanto, a solução fica expressa implicitamente.

Resposta

A solução do problema é uma função implícita dada por:

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