Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões que ficam entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas envolvidas:
-
A função
pode ser reescrita de duas maneiras: - Para
: - Para
:
- Para
-
A outra curva é
, que é uma função cúbica.
Passo 3
O próximo passo é encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos onde
. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração para calcular a área.
Passo 4
Vamos resolver a equação
:
-
Para
: -
Para
:
Então, os pontos de interseção são
.
Passo 5
Agora, vamos analisar qual curva está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção:
-
Entre
e : -
Entre
e :
Passo 6
Com isso, podemos calcular a área total somando as áreas desses dois intervalos. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aplicando isso aos nossos intervalos:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Avaliando nos limites:
Passo 8
Agora, a segunda integral:
Avaliando nos limites:
Resposta
Somando as duas áreas calculadas:
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.