Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x |x|, y = x^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões que ficam entre as curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas envolvidas:
  • A função pode ser reescrita de duas maneiras:
    • Para :
    • Para :
  • A outra curva é , que é uma função cúbica.

Passo 3

O próximo passo é encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos onde . Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração para calcular a área.

Passo 4

Vamos resolver a equação :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são .

Passo 5

Agora, vamos analisar qual curva está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção:
  • Entre e :
    á
  • Entre e :
    á

Passo 6

Com isso, podemos calcular a área total somando as áreas desses dois intervalos. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Aplicando isso aos nossos intervalos:
Á

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
Avaliando nos limites:

Passo 8

Agora, a segunda integral:
Avaliando nos limites:

Resposta

Somando as duas áreas calculadas:
Áá
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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