Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
,
e
. Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração definida para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Para encontrar a área entre
e
, vamos integrar a função
em relação a
nesse intervalo. A fórmula geral para a área
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição
. Então,
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Podemos fazer uma substituição adicional. Seja
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida por expansão em série ou métodos numéricos, mas para simplificar, usamos uma aproximação ou tabela de integrais. O resultado dessa integração é:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades de área.