Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se intersectam. Igualamos
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Essas são as abscissas dos pontos de interseção.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos
e
, vamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Podemos escolher um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima da
entre
e
.
Passo 4
A fórmula para encontrar a área entre duas curvas é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral:
Simplificamos a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo.
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Aplicamos a antiderivada termo a termo.
Passo 7
Substituímos os limites na expressão encontrada:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades quadradas.