Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^2 + 1, y = x + 1

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se intersectam. Igualamos :
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Essas são as abscissas dos pontos de interseção.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos e , vamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Podemos escolher um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a curva está acima da entre e .

Passo 4

A fórmula para encontrar a área entre duas curvas é:
Aqui, e , e os limites de integração são e .

Passo 5

Vamos configurar a integral:
Simplificamos a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo.

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Aplicamos a antiderivada termo a termo.

Passo 7

Substituímos os limites na expressão encontrada:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades quadradas.

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