Seja z=f(x^3, 3 x-4), onde f(p, q) é difenreciável em R^2.
(a) expresse partial zpartial x em termos das suas rerivadas parciais.

Passo 1

Então, a gente tem a função , onde é diferenciável em . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de . Aqui, temos duas funções internas:
Então, podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, para encontrar partial zpartial x = partial fpartial p cdot dpdx + partial fpartial q cdot dqdx , aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Essa regra diz que a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável interna, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis internas em relação a .
Matematicamente, isso fica:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Calculando p = x^3 implies dpdx = 3x^2 :
q = 3x - 4 implies dqdx = 3
  1. Calculando :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que montamos no Passo 3:
partial zpartial x = partial fpartial p cdot 3x^2 + partial fpartial q cdot 3

Resposta

Portanto, a derivada parcial de partial zpartial x = 3x^2 cdot partial fpartial p + 3 cdot partial fpartial q em relação a é:

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