Seja
, onde
é difenreciável em
.
(a) expresse
em termos das suas rerivadas parciais.
(a) expresse
Passo 1
Então, a gente tem a função
, onde
é diferenciável em
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de
. Aqui, temos duas funções internas:
Então, podemos reescrever
como
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Essa regra diz que a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável interna, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis internas em relação a
.
Matematicamente, isso fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Calculando
:
- Calculando
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que montamos no Passo 3:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é: