Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = (1 - x^2) / (1 + x^2) e o eixo dos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e o eixo dos . Isso envolve um pouco de cálculo integral, já que queremos encontrar a área entre uma curva e o eixo dos . Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a curva cruza o eixo dos , determinar os intervalos onde a curva está acima ou abaixo do eixo, e então integrar a função nesses intervalos para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva cruza o eixo dos . Isso acontece quando . Então, vamos resolver:
Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero). Então:
Portanto, a curva cruza o eixo dos nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos analisar em quais intervalos a função está acima ou abaixo do eixo dos .
Para isso, vamos escolher valores de em diferentes intervalos:
  1. Para , por exemplo, :
  2. Para , por exemplo, :
  3. Para , por exemplo, :
Então, a função está acima do eixo dos entre e , e abaixo fora desse intervalo.

Passo 4

Como queremos a área das regiões limitadas pelas curvas, vamos considerar que a área é sempre positiva. Portanto, precisamos integrar a função de a , já que nesse intervalo a função está acima do eixo dos .
A fórmula para a área é:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Podemos separar a fração:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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