Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
e o eixo dos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e o eixo dos
. Isso envolve um pouco de cálculo integral, já que queremos encontrar a área entre uma curva e o eixo dos
. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a curva cruza o eixo dos
, determinar os intervalos onde a curva está acima ou abaixo do eixo, e então integrar a função nesses intervalos para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva cruza o eixo dos
. Isso acontece quando
. Então, vamos resolver:
Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero). Então:
Portanto, a curva cruza o eixo dos
nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar em quais intervalos a função
está acima ou abaixo do eixo dos
.
Para isso, vamos escolher valores de
em diferentes intervalos:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Então, a função está acima do eixo dos
entre
e
, e abaixo fora desse intervalo.
Passo 4
Como queremos a área das regiões limitadas pelas curvas, vamos considerar que a área é sempre positiva. Portanto, precisamos integrar a função
de
a
, já que nesse intervalo a função está acima do eixo dos
.
A fórmula para a área
é:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Podemos separar a fração:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades quadradas.