Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y^3 = x, y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Primeiro, precisamos identificar onde essas duas curvas se encontram e entender qual delas está acima da outra nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Assim, as soluções são , e . Portanto, os pontos de interseção são (0,0), (1,1) e (-1,-1).

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo entre os pontos de interseção. Vamos analisar para entre -1 e 1:
  • Para , por exemplo, : Aqui, está acima de .
  • Para , por exemplo, : Novamente, está acima de .
Portanto, está acima de em todo o intervalo de de -1 a 1.

Passo 4

Agora que sabemos qual curva está acima, podemos calcular a área entre elas usando a fórmula da integral:
Áçãçã
Aqui, e , a função de cima é e a função de baixo é . Precisamos reescrever essas funções em termos de :
Então, a integral fica:
Á

Resposta

Calculando a integral:
Á
Avaliação nos limites:
Parece que houve um erro na avaliação. Como a função é simétrica, podemos calcular apenas para um lado e dobrar o resultado:
Á
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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