Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Primeiro, precisamos identificar onde essas duas curvas se encontram e entender qual delas está acima da outra nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Assim, as soluções são
,
e
. Portanto, os pontos de interseção são (0,0), (1,1) e (-1,-1).
Passo 3
Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo entre os pontos de interseção. Vamos analisar para
entre -1 e 1:
- Para
, por exemplo, : Aqui, está acima de . - Para
, por exemplo, : Novamente, está acima de .
Portanto,
está acima de
em todo o intervalo de
de -1 a 1.
Passo 4
Agora que sabemos qual curva está acima, podemos calcular a área entre elas usando a fórmula da integral:
Aqui,
e
, a função de cima é
e a função de baixo é
. Precisamos reescrever essas funções em termos de
:
Então, a integral fica:
Resposta
Calculando a integral:
Avaliação nos limites:
Parece que houve um erro na avaliação. Como a função é simétrica, podemos calcular apenas para um lado e dobrar o resultado:
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.