Sejam y = y(x) e z = z(x) diferenciáveis em R e dadas implicitamente pelo sistema
{ 2y + z - 3x = 4, z - y + 3x = 1 }
(a) calcule d y / d x e d z / d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações onde e são funções de . O conteúdo que vamos usar aqui é derivação de funções implícitas e resolução de sistemas lineares. Precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado:
Nosso objetivo é achar as derivadas dessas equações em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada equação em relação a , lembrando que e são funções de :
Para a primeira equação:
Isso resulta em:
Para a segunda equação:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações com e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Podemos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da segunda equação, isolamos :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Simplificando a equação:
Adicionamos 3 em ambos os lados:
Dividindo por 3:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão que encontramos para :

Resposta

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