Sejam
e
diferenciáveis em
e dadas implicitamente pelo sistema
(a) calcule
.
(a) calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações onde
e
são funções de
. O conteúdo que vamos usar aqui é derivação de funções implícitas e resolução de sistemas lineares. Precisamos encontrar as derivadas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado:
Nosso objetivo é achar as derivadas dessas equações em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada equação em relação a
, lembrando que
e
são funções de
:
Para a primeira equação:
Isso resulta em:
Para a segunda equação:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações com
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Podemos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da segunda equação, isolamos
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 6
Simplificando a equação:
Adicionamos 3 em ambos os lados:
Dividindo por 3:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão que encontramos para
: