Seja z=f(x^3, 3 x-4), onde f(p, q) é difenreciável em R^2.
(b) Verfifique que partial zpartial x|x=-1=3[partial fpartial p(-1,-7)+partial fpartial q(-1,-7)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar uma relação envolvendo derivadas parciais. A gente vai trabalhar com a função , onde é diferenciável em . Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a quando e mostrar que ela é igual a vezes a soma das derivadas parciais de em .
Vamos precisar usar o Regra da Cadeia para derivadas, que é super útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas. Temos:
Então, .

Passo 3

Agora, para encontrar partial zpartial x = partial fpartial p cdot dpdx + partial fpartial q cdot dqdx , usamos a Regra da Cadeia para derivadas parciais:
Isso significa que a derivada de em relação a é a soma das derivadas de em relação a e , cada uma multiplicada pela derivada de e em relação a , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivadas das funções internas:
dpdx = ddx(x^3) = 3x^2
dqdx = ddx(3x - 4) = 3
  1. Substituindo na regra da cadeia:
partial zpartial x = partial fpartial p cdot 3x^2 + partial fpartial q cdot 3

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa expressão em p(-1) = (-1)^3 = -1 . Primeiro, vamos encontrar os valores de q(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7 e quando :
Então, estamos avaliando em .

Passo 6

Substituindo partial zpartial xg|x=-1 = partial fpartial p(-1, -7) cdot 3(-1)^2 + partial fpartial q(-1, -7) cdot 3 na expressão da derivada:
= partial fpartial p(-1, -7) cdot 3(1) + partial fpartial q(-1, -7) cdot 3
Calculando:
= 3partial fpartial p(-1, -7) + 3partial fpartial q(-1, -7)

Passo 7

Fatorando o 3:
= 3( partial fpartial p(-1, -7) + partial fpartial q(-1, -7) )

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x|x=-1 = 3[partial fpartial p(-1,-7) + partial fpartial q(-1,-7)] em relação a em é:

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