Seja , onde é difenreciável em .
(b) Verfifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar uma relação envolvendo derivadas parciais. A gente vai trabalhar com a função , onde é diferenciável em . Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a quando e mostrar que ela é igual a vezes a soma das derivadas parciais de em .
Vamos precisar usar o Regra da Cadeia para derivadas, que é super útil quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas. Temos:
Então, .
Passo 3
Agora, para encontrar partial zpartial x = partial fpartial p cdot dpdx + partial fpartial q cdot dqdx , usamos a Regra da Cadeia para derivadas parciais:
Isso significa que a derivada de em relação a é a soma das derivadas de em relação a e , cada uma multiplicada pela derivada de e em relação a , respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
Derivadas das funções internas:
dpdx = ddx(x^3) = 3x^2
dqdx = ddx(3x - 4) = 3
Substituindo na regra da cadeia:
partial zpartial x = partial fpartial p cdot 3x^2 + partial fpartial q cdot 3
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa expressão em p(-1) = (-1)^3 = -1 . Primeiro, vamos encontrar os valores de q(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7 e quando :