Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = -x^2 - 4, y = -8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre as curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo integral, onde vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam e, a partir daí, integrar para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam, ou seja, onde . Isso nos ajuda a definir os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Vamos adicionar em ambos os lados:
Agora, somando 8 em ambos os lados:
Então, tirando a raiz quadrada:
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração ( e ), vamos lembrar que a área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a curva de cima e a curva de baixo. Aqui, está acima de .

Passo 5

A fórmula para a área será:
Simplificando a expressão dentro do integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Então:
Como área não pode ser negativa, ignoramos o sinal:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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