Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre as curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo integral, onde vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam e, a partir daí, integrar para achar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam, ou seja, onde . Isso nos ajuda a definir os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Vamos adicionar em ambos os lados:
Agora, somando 8 em ambos os lados:
Então, tirando a raiz quadrada:
Então, as curvas se encontram nos pontos e .
Passo 4
Agora que temos os limites de integração ( e ), vamos lembrar que a área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a curva de cima e a curva de baixo. Aqui, está acima de .
Passo 5
A fórmula para a área será:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Então:
Como área não pode ser negativa, ignoramos o sinal:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.