Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área sob o gráfico da função
entre
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos ajuda a encontrar a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. É uma função polinomial do terceiro grau (cúbica), e queremos saber se ela cruza o eixo
entre
e
. Para isso, resolvemos
:
Isso significa que a única raiz da função nesse intervalo é em
.
Passo 3
Vamos verificar o valor da função nos extremos do intervalo para saber se ela está acima ou abaixo do eixo
:
-
Em
: -
Em
: -
Em
(ponto médio para conferir):
Isso mostra que
está sempre acima ou igual a zero no intervalo de
a
. Então, toda a área será positiva.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de
de
a
para encontrar a área:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 5
Integramos
e
separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área sob o gráfico de
entre
e
é 2 unidades de área.