Calcule a área sob o gráfico de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se:
f(x)=(x+1)^3+1, x=-2, x=0

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área sob o gráfico da função entre e . Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos ajuda a encontrar a área entre a curva e o eixo nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . É uma função polinomial do terceiro grau (cúbica), e queremos saber se ela cruza o eixo entre e . Para isso, resolvemos :
Isso significa que a única raiz da função nesse intervalo é em .

Passo 3

Vamos verificar o valor da função nos extremos do intervalo para saber se ela está acima ou abaixo do eixo :
  • Em :
  • Em :
  • Em (ponto médio para conferir):
Isso mostra que está sempre acima ou igual a zero no intervalo de a . Então, toda a área será positiva.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de de a para encontrar a área:
Á
Vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integramos e separadamente:
Então, a integral completa é:

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de a :
Á
Simplificando:

Resposta

A área sob o gráfico de entre e é 2 unidades de área.

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