Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisa calcular a área das regiões que ficam entre duas curvas:
e
. Para resolver isso, vamos usar noções de cálculo integral, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Rearranjando a equação
, temos:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática. A fórmula é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 6
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 7
Agora, precisamos saber qual das funções está por cima da outra nesse intervalo para saber qual subtrair da outra na integração. Vamos testar um valor de
entre
e
, por exemplo,
:
Como
, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 8
Então, a área
entre as curvas de
a
é dada por:
Passo 9
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Integrando termo a termo:
Passo 10
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades quadradas.