Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^2, y = 2x + 5/4

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisa calcular a área das regiões que ficam entre duas curvas: e . Para resolver isso, vamos usar noções de cálculo integral, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Rearranjando a equação , temos:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática. A fórmula é:
Aqui, , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 6

Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 7

Agora, precisamos saber qual das funções está por cima da outra nesse intervalo para saber qual subtrair da outra na integração. Vamos testar um valor de entre e , por exemplo, :
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 8

Então, a área entre as curvas de a é dada por:

Passo 9

Vamos calcular essa integral passo a passo:
Integrando termo a termo:

Passo 10

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 12

Subtraindo os valores:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades quadradas.

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