Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, de
até
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Então, vamos precisar achar a derivada de
em relação a
e depois substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado e somar 1, conforme a fórmula do comprimento do arco:
Simplificando:
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento do arco fica:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Integrando
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo dado é
unidades.