Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = (1 - x^(2/3))^(3/2), de x = 1/8 até x = 1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da curva no intervalo de até . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva entre e . A fórmula é:
Então, vamos precisar achar a derivada de em relação a e depois substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado e somar 1, conforme a fórmula do comprimento do arco:
Simplificando:
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento do arco fica:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Integrando :
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:
Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo dado é unidades.

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