Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y=integral4^x raizt-1 d t, do ponto (4,0) até (9, integral4^9 raizt-1 d t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco de uma curva definida por , indo do ponto até . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo que envolve derivadas e integrais, especialmente a fórmula para comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx entre dois pontos e :
Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

A função y = integral4^x raizt-1 , dt é dada por uma integral definida:
dydx = raizx - 1
Para encontrar , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral definida com limite superior variável é a função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:

Passo 4

Agora que temos L = integral4^9 raiz1 + (raizx - 1)^2 , dx , vamos substituir isso na fórmula do comprimento de arco:
(raizx - 1)^2 = x - 1
Simplificando a expressão dentro da raiz:
L = integral4^9 raiz1 + x - 1 , dx = integral4^9 raizx , dx
Então:

Passo 5

Agora, basta calcular essa integral:
L = integral4^9 raizx , dx
Sabemos que L = [ 23 x^3/2 ]4^9 = 23 ( 9^3/2 - 4^3/2 ) , e a integral de L = 23 (27 - 8) = 23 times 19 = 383 approx 12,67 é . Então:
Calculando e :

Resposta

O comprimento de arco da curva entre os pontos indicados é unidades.

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