Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, do ponto
até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco de uma curva definida por
, indo do ponto
até
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo que envolve derivadas e integrais, especialmente a fórmula para comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva
entre dois pontos
e
:
Então, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
A função
é dada por uma integral definida:
Para encontrar
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral definida com limite superior variável é a função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir isso na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, basta calcular essa integral:
Sabemos que
, e a integral de
é
. Então:
Calculando
e
:
Resposta
O comprimento de arco da curva entre os pontos indicados é
unidades.