Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = x^2, y = x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região em torno do eixo dos . As curvas que delimitam essa região são e . Pra resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Vamos resolver :
Então, as soluções são e . Esses são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos entender qual curva está acima da outra no intervalo . Para isso, podemos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 4

Como vamos rotacionar em torno do eixo dos , usamos o método dos anéis (washers). A fórmula para o volume é:
Aqui, é a função de cima ( ) e a de baixo ( ).

Passo 5

Substituindo as funções e os limites de integração na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 7

Calculando nos limites:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Então,

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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