Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região em torno do eixo dos
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Pra resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Vamos resolver
:
Então, as soluções são
e
. Esses são os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos entender qual curva está acima da outra no intervalo
. Para isso, podemos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 4
Como vamos rotacionar em torno do eixo dos
, usamos o método dos anéis (washers). A fórmula para o volume
é:
Aqui,
é a função de cima (
) e
a de baixo (
).
Passo 5
Substituindo as funções e os limites de integração na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Calculando nos limites:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Então,
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.