Defina uma integral iterada em coordenadas polares que forneça o volume do sólido sob o gráfico da função indicada e acima da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos uma integral iterada em coordenadas polares que calcule o volume do sólido abaixo da função
e acima da região
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas polares, que é super útil quando estamos lidando com regiões circulares ou que têm simetria angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Isso é importante porque vamos reescrever a função
em termos de
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na função
:
Passo 4
Em coordenadas polares, o elemento de área
é dado por
. Portanto, a integral para calcular o volume será:
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para
e
com base na região
. Como
não foi especificada no enunciado, vamos assumir que
seja uma região simples que pode ser descrita em coordenadas polares, por exemplo, um círculo de raio
.
Então, os limites seriam:
Passo 6
Finalmente, escrevemos a integral iterada completa em coordenadas polares:
Resposta
A integral iterada em coordenadas polares que fornece o volume do sólido é: