Defina uma integral iterada em coordenadas polares que forneça o volume do sólido sob o gráfico da função indicada e acima da região D. f(x, y) = x * y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos uma integral iterada em coordenadas polares que calcule o volume do sólido abaixo da função e acima da região . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas polares, que é super útil quando estamos lidando com regiões circulares ou que têm simetria angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Isso é importante porque vamos reescrever a função em termos de e .

Passo 3

Substituindo e na função :

Passo 4

Em coordenadas polares, o elemento de área é dado por . Portanto, a integral para calcular o volume será:

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para e com base na região . Como não foi especificada no enunciado, vamos assumir que seja uma região simples que pode ser descrita em coordenadas polares, por exemplo, um círculo de raio .
Então, os limites seriam:

Passo 6

Finalmente, escrevemos a integral iterada completa em coordenadas polares:

Resposta

A integral iterada em coordenadas polares que fornece o volume do sólido é:

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