Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de Áreas Entre Curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde as curvas se interceptam e depois usar a integração para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde ocorre a interseção:
Então,
ou
.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, vamos determinar os pontos de interseção substituindo
de volta em uma das equações para achar
. Vamos usar
:
E para
:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 5
Agora, vamos entender qual curva está à direita e qual está à esquerda entre
e
. Observe que:
Vamos comparar os dois:
Isso mostra que uma curva é simétrica da outra em relação ao eixo
. Portanto, para calcular a área entre elas, podemos integrar a diferença entre as duas funções em relação a
de 0 a 1.
Passo 6
Vamos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula para a área entre duas curvas
e
é:
Aqui,
e
. Então:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa diferença de 0 a 1:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, vamos avaliar de
a
:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades de área.