Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y^2 - y = x, y - y^2 = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de Áreas Entre Curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde as curvas se interceptam e depois usar a integração para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde ocorre a interseção:
Então, ou .

Passo 4

Com os valores de encontrados, vamos determinar os pontos de interseção substituindo de volta em uma das equações para achar . Vamos usar :
E para :
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 5

Agora, vamos entender qual curva está à direita e qual está à esquerda entre e . Observe que:
Vamos comparar os dois:
Isso mostra que uma curva é simétrica da outra em relação ao eixo . Portanto, para calcular a área entre elas, podemos integrar a diferença entre as duas funções em relação a de 0 a 1.

Passo 6

Vamos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula para a área entre duas curvas e é:
Á
Aqui, e . Então:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa diferença de 0 a 1:
Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, vamos avaliar de a :
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.

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