Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, do ponto
até
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida por
, começando no ponto
e indo até
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função em relação a
.
Passo 3
No nosso caso,
. Para encontrar
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando o que está dentro da raiz:
Fatorando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, avaliamos a antiderivada entre os limites de 1 a 3:
Simplificando:
Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva entre os pontos indicados é: