Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y=integral1^x raizt^4+t^2-1 d t, do ponto (1,0) até (3, integral1^3 raizt^4+t^2-1 d t)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida por , começando no ponto e indo até . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco de uma curva L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

No nosso caso, dydx = raizx^4 + x^2 - 1 . Para encontrar , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:

Passo 4

Agora, vamos substituir L = integral1^3 raiz1 + ( raizx^4 + x^2 - 1 )^2 , dx na fórmula do comprimento de arco:
raiz1 + x^4 + x^2 - 1 = raizx^4 + x^2
Simplificando o que está dentro da raiz:
raizx^2(x^2 + 1) = x raizx^2 + 1
Fatorando L = integral1^3 x raizx^2 + 1 , dx :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Para isso, fazemos uma substituição:
L = integral x raizx^2 + 1 , dx = 12 integral raizu , du
Substituindo na integral:
12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Integrando:
13 (x^2 + 1)^3/2
Voltando para :

Passo 6

Agora, avaliamos a antiderivada entre os limites de 1 a 3:
L = 13 [ (3^2 + 1)^3/2 - (1^2 + 1)^3/2 ] = 13 [ (10)^3/2 - (2)^3/2 ]
Simplificando:
10^3/2 = 10 raiz10 e 2^3/2 = 2 raiz2
Então:
L = 13 ( 10 raiz10 - 2 raiz2 )

Resposta

O comprimento de arco da curva entre os pontos indicados é:
L = 10 raiz10 - 2 raiz23

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