Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, de
até
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o comprimento do arco da curva
entre
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função, que é um método da cálculo integral. Precisamos conhecer a derivada da função e preparar a integral adequada para encontrar o comprimento total desse arco.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma função contínua
no intervalo
:
Aqui,
representa o comprimento do arco,
é a derivada da função em relação a
, e
é o intervalo considerado.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. Sabemos que:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Então:
Sabendo que
, temos:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Lembrando que
, que é uma identidade trigonométrica fundamental.
Passo 5
Substituindo a identidade trigonométrica na integral:
A raiz quadrada de
é
, já que
é positivo no intervalo considerado.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
. A integral de
é uma integral conhecida:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 8
Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Resposta
O comprimento do arco da curva
entre
e
é: