Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = ln(sec(x)), de x = 0 até x = pi / 3

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o comprimento do arco da curva entre e . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função, que é um método da cálculo integral. Precisamos conhecer a derivada da função e preparar a integral adequada para encontrar o comprimento total desse arco.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma função contínua no intervalo :
Aqui, representa o comprimento do arco, é a derivada da função em relação a , e é o intervalo considerado.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . Sabemos que:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
Então:
Sabendo que , temos:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Lembrando que , que é uma identidade trigonométrica fundamental.

Passo 5

Substituindo a identidade trigonométrica na integral:
A raiz quadrada de é , já que é positivo no intervalo considerado.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de . A integral de é uma integral conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 8

Subtraindo os valores obtidos nos limites:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é:

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