Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar em regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas
para polares
e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
é a parte positiva do semicírculo de raio 2 (já que
). Junto com o eixo
, isso forma um semicírculo à direita do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos lidando com um semicírculo à direita, o raio
varia de 0 a 2 (raio do círculo), e o ângulo
varia de
a
para cobrir toda a semicircunferência à direita do eixo
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, se transforma em
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral externa em
:
Passo 8
Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
Resposta
A integral vale
.