Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares: integral duplaR e^-x^2-y^2 d A; onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde é a região limitada pelo semicírculo e pelo eixo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar em regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação é a parte positiva do semicírculo de raio 2 (já que ). Junto com o eixo , isso forma um semicírculo à direita do eixo .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos lidando com um semicírculo à direita, o raio varia de 0 a 2 (raio do círculo), e o ângulo varia de a para cobrir toda a semicircunferência à direita do eixo .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR e^-x^2-y^2 , dA = integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, se transforma em .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr :
12 integral0^4 e^-u , du = 12 [-e^-u]0^4 = 12 (1 - e^-4)
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral externa em integral-pi2^pi2 dtheta = pi :

Passo 8

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
pi cdot 12 (1 - e^-4) = pi2 (1 - e^-4)

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados