Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
r=3 \cos (4 \theta) ;

Passo 1

O enunciado fornece a curva polar
r=3\cos(4\theta)
e pede para calcular a área das regiões limitadas por essa rosácea. Foi indicado calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função radial é r(\theta)=3\cos(4\theta).
  • A amplitude máxima (valor absoluto de r) é 3.
  • Deve-se obter a área total da figura (somando as pétalas); a estratégia é calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas.
  • Não há imagens adicionais fornecidas.

Passo 2

Fórmula para área em coordenadas polares (aula rápida e intuitiva).
  • Em coordenadas polares, um pequeno setor radial de ângulo \mathrm{d}\theta e raio aproximado r tem área aproximada de \tfrac{1}{2}r^{2}\,\mathrm{d}\theta. Por isso, a área entre \theta=\alpha e \theta=\beta é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^{2}\,\mathrm{d}\theta.Á
  • Aqui r(\theta) é a distância do ponto à origem em função do ângulo \theta; \theta é o ângulo polar. Essa fórmula é a ferramenta principal que vamos usar.

Passo 3

Determinar o número de pétalas (explicação passo a passo).
  • A função é r=3\cos(4\theta). Em geral, para r=a\cos(n\theta):
    • se n é ímpar, a rosácea tem n pétalas;
    • se n é par, a rosácea tem 2n pétalas.
  • Aqui n=4 é par, portanto o número de pétalas é 2\cdot 4=8.
  • Verificação por zeros: as interseções com a origem ocorrem quando \cos(4\theta)=0, i.e.
4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}.
Esses zeros dividem o círculo em intervalos de comprimento \frac{\pi}{4}, e a simetria/negatividade de r produz, no total, 8 pétalas.

Passo 4

Escolher os limites de integração para uma pétala.
  • Uma pétala corresponde a um intervalo angular entre duas raízes consecutivas de r(\theta). Tomando uma pétala centrada no máximo em \theta=0, os zeros mais próximos são \theta=-\frac{\pi}{8} e \theta=+\frac{\pi}{8}. Assim, um intervalo que descreve uma pétala é
\theta\in\left[-\frac{\pi}{8},\,\frac{\pi}{8}\right].
  • Observação: em \theta=0 temos r(0)=3\cos 0=3, que é o vértice (ponta) dessa pétala.

Passo 5

Calcular a área de uma pétala (passos de cálculo bem detalhados).
  • Pela fórmula da área em polares, a área de uma pétala é
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \bigl(3\cos(4\theta)\bigr)^{2}\,\mathrm{d}\theta.é
  • Desenvolvendo o integrando:
\bigl(3\cos(4\theta)\bigr)^{2}=9\cos^{2}(4\theta).
Logo
A_{\text{pétala}}=\frac{9}{2}\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}\cos^{2}(4\theta)\,\mathrm{d}\theta.é
  • Usar a identidade do dobro de ângulo para \cos^{2}:
\cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Aplicando com u=4\theta:
\cos^{2}(4\theta)=\frac{1+\cos(8\theta)}{2}.
  • Substituindo:
A_{\text{pétala}}=\frac{9}{2}\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}\frac{1+\cos(8\theta)}{2}\,\mathrm{d}\theta =\frac{9}{4}\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}\bigl(1+\cos(8\theta)\bigr)\,\mathrm{d}\theta.é
  • Calcular a integral em partes:
    • \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}1\,\mathrm{d}\theta=\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}=\frac{\pi}{8}-\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr)=\frac{\pi}{4}.
    • \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}\cos(8\theta)\,\mathrm{d}\theta=\left[\frac{1}{8}\sin(8\theta)\right]_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}=\frac{1}{8}\bigl(\sin(\pi)-\sin(-\pi)\bigr)=\frac{1}{8}(0-0)=0.
  • Portanto
A_{\text{pétala}}=\frac{9}{4}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{9\pi}{16}.é

Passo 6

Calcular a área total multiplicando pelo número de pétalas.
  • Existem 8 pétalas (Passo 3), logo a área total é
A_{\text{total}}=8\cdot A_{\text{pétala}}=8\cdot\frac{9\pi}{16}=\frac{72\pi}{16}=\frac{9\pi}{2}.é

Passo 7

Como esboçar a rosácea (dicas práticas, sem desenho gráfico):
  • A rosácea tem 8 pétalas, igualmente distribuídas ao redor da origem, com uma pétala a cada ângulo de \frac{\pi}{4} (multiplicidade de \frac{\pi}{4}).
  • Cada pétala atinge raio máximo 3 (ponta) — por exemplo, em \theta=0 tem uma ponta em r=3 apontando para o eixo x positivo.
  • As interseções com a origem ocorrem em \theta=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}, que são os limites angulares das pétalas.
  • Para esboçar: marque os 8 ângulos \theta=k\frac{\pi}{4} para k=0,1,\dots,7 como direções principais das pontas; entre dois zeros consecutivos (intervalo angular \frac{\pi}{4}) trace a curva r=3\cos(4\theta) (valores positivos produzem a pétala direta, valores negativos aparecem refletidos em direção oposta criando as pétalas intermediárias). Cada pétala é simétrica em relação ao seu eixo central.

Passo 8

Palavras finais de ânimo: isso parecia pesado no começo, mas a ideia-chave é usar a fórmula da área polar e aproveitar a simetria (uma pétala × número de pétalas). Se precisar, posso desenhar passo a passo como plotar pontos para o esboço.

Resposta

A_{\text{pétala}}=\dfrac{9\pi}{16}é
A_{\text{total}}=\dfrac{9\pi}{2}

Exercícios relacionados