Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
Passo 1
O enunciado fornece a curva polar
e pede para calcular a área das regiões limitadas por essa rosácea. Foi indicado calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas.
Informações relevantes do enunciado:
- A função radial é
. - A amplitude máxima (valor absoluto de
) é . - Deve-se obter a área total da figura (somando as pétalas); a estratégia é calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas.
- Não há imagens adicionais fornecidas.
Passo 2
Fórmula para área em coordenadas polares (aula rápida e intuitiva).
- Em coordenadas polares, um pequeno setor radial de ângulo
e raio aproximado tem área aproximada de . Por isso, a área entre e é dada por
- Aqui
é a distância do ponto à origem em função do ângulo ; é o ângulo polar. Essa fórmula é a ferramenta principal que vamos usar.
Passo 3
Determinar o número de pétalas (explicação passo a passo).
- A função é
. Em geral, para : - se
é ímpar, a rosácea tem pétalas; - se
é par, a rosácea tem pétalas.
- se
- Aqui
é par, portanto o número de pétalas é . - Verificação por zeros: as interseções com a origem ocorrem quando
, i.e.
Esses zeros dividem o círculo em intervalos de comprimento
, e a simetria/negatividade de
produz, no total, 8 pétalas.
Passo 4
Escolher os limites de integração para uma pétala.
- Uma pétala corresponde a um intervalo angular entre duas raízes consecutivas de
. Tomando uma pétala centrada no máximo em , os zeros mais próximos são e . Assim, um intervalo que descreve uma pétala é
- Observação: em
temos , que é o vértice (ponta) dessa pétala.
Passo 5
Calcular a área de uma pétala (passos de cálculo bem detalhados).
- Pela fórmula da área em polares, a área de uma pétala é
- Desenvolvendo o integrando:
Logo
- Usar a identidade do dobro de ângulo para
:
Aplicando com
:
- Substituindo:
- Calcular a integral em partes:
-
- Portanto
Passo 6
Calcular a área total multiplicando pelo número de pétalas.
- Existem 8 pétalas (Passo 3), logo a área total é
Passo 7
Como esboçar a rosácea (dicas práticas, sem desenho gráfico):
- A rosácea tem 8 pétalas, igualmente distribuídas ao redor da origem, com uma pétala a cada ângulo de
(multiplicidade de ). - Cada pétala atinge raio máximo
(ponta) — por exemplo, em tem uma ponta em apontando para o eixo positivo. - As interseções com a origem ocorrem em
, que são os limites angulares das pétalas. - Para esboçar: marque os 8 ângulos
para como direções principais das pontas; entre dois zeros consecutivos (intervalo angular ) trace a curva (valores positivos produzem a pétala direta, valores negativos aparecem refletidos em direção oposta criando as pétalas intermediárias). Cada pétala é simétrica em relação ao seu eixo central.
Passo 8
Palavras finais de ânimo: isso parecia pesado no começo, mas a ideia-chave é usar a fórmula da área polar e aproveitar a simetria (uma pétala × número de pétalas). Se precisar, posso desenhar passo a passo como plotar pontos para o esboço.