Calcule as seguintes integrais triplas
2.
\iiint_{E} x y d V, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos x=y^{2}, y=x^{2} e pelos planos x=0, z=x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E} x y\,dV, onde E é limitado pelas superfícies:
  • os cilindros parabólicos \,x=y^{2} e \,y=x^{2};
  • o plano \,x=0;
  • o plano \,z=x+2y.
Observação sobre interpretação (importante para fechar a região): para que o sólido E seja realmente limitado em z é necessário um plano inferior em z. Vou adotar a interpretação convencional e mais provável para este tipo de exercício: o sólido E é a região sobre a porção do plano z=0 (plano xy) e abaixo do plano \,z=x+2y, projetada na região do plano xy delimitada pelas curvas \,x=y^{2} e \,y=x^{2} (e com x\ge0 por conta de x=y^2 e do plano x=0). Ou seja, estou assumindo
E=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\\\ 0\le z\le x+2y\},
onde D é a região do plano xy limitada por \,x=y^{2} e \,y=x^{2}.
O que se pede: calcular \displaystyle \iiint_{E} x y\,dV (valor numérico).

Passo 2

Entender a projeção D no plano xy. As curvas são \,x=y^{2} (parábola com abertura para a direita) e \,y=x^{2} (parábola com abertura para cima). Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos simultaneamente:
x=y^{2},\qquad y=x^{2}.
Substituindo x=y^{2} em y=x^{2} obtemos
y=(y^{2})^{2}=y^{4}.
Isso leva a
y^{4}-y=0\quad\Longrightarrow\quad y(y^{3}-1)=0.
Assim \,y=0 ou \,y=1. Para esses y correspondem x=y^{2}, então os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Desenho mental da região D e escolha da ordem de integração. Para y entre 0 e 1 temos:
  • a curva \,x=y^{2} dá o valor da abscissa à esquerda;
  • a equação \,y=x^{2} pode ser escrita como \,x=\sqrt{y} (tomando a raiz positiva, pois estamos na região com x\ge0) e dá a abscissa à direita.
Logo a projeção é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\\ y^{2}\le x\le \sqrt{y}\}.
Essa escolha (integrar primeiro em x, depois em y) é conveniente porque os limites em x ficam simples ( x vai de uma função de y até outra função de y).

Passo 4

Passar da integral tripla para uma dupla usando a integral em z. Como para cada (x,y)\in D temos 0\le z\le x+2y, integrando primeiro em z obtemos
\iiint_{E} x y\,dV =\iint_{D} \left(\int_{z=0}^{z=x+2y} x y\,dz\right)dA.
A integral interna em z é simples porque x y é constante em relação a z:
\int_{0}^{x+2y} x y\,dz = x y\cdot (x+2y).
Portanto
\iiint_{E} x y\,dV = \iint_{D} x y (x+2y)\,dA.

Passo 5

Escrever a integral dupla com os limites encontrados em D:
\iiint_{E} x y\,dV = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}} x y (x+2y)\,dx\,dy.
Antes de calcular, vamos expandir o integrando para facilitar a integração em x:
x y (x+2y) = x^{2}y + 2x y^{2}.

Passo 6

Calcular a integral interna em x. Para cada y fixo,
\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}} \big(x^{2}y + 2x y^{2}\big)\,dx = y\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx + 2y^{2}\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} x\,dx.
Agora as primitivas:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Aplicando os limites,
y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{x=y^{2}}^{x=\sqrt{y}} +2y^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=y^{2}}^{x=\sqrt{y}}.
Simplificando os fatores:
= y\left(\frac{(\sqrt{y})^{3}}{3}-\frac{(y^{2})^{3}}{3}\right) + y^{2}\big((\sqrt{y})^{2}-(y^{2})^{2}\big).
Calcular cada termo (lembrando (\sqrt{y})^{3}=y^{3/2}, (\sqrt{y})^{2}=y, (y^{2})^{3}=y^{6}, (y^{2})^{2}=y^{4}):
= \frac{y\cdot y^{3/2}}{3} - \frac{y\cdot y^{6}}{3} + y^{2}(y - y^{4}).
Isso fica
= \frac{y^{5/2}}{3} - \frac{y^{7}}{3} + y^{3} - y^{6}.
Agrupando:
= \frac{1}{3}\big(y^{5/2}-y^{7}\big) + \big(y^{3}-y^{6}\big).

Passo 7

Agora integrar em y de 0 a 1:
\iiint_{E} x y\,dV = \int_{0}^{1} \left[\frac{1}{3}\big(y^{5/2}-y^{7}\big) + \big(y^{3}-y^{6}\big)\right] dy.
Integramos termo a termo. As primitivas são:
\int y^{5/2}\,dy = \frac{2}{7}y^{7/2},\qquad \int y^{7}\,dy = \frac{y^{8}}{8},
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4},\qquad \int y^{6}\,dy = \frac{y^{7}}{7}.
Aplicando os coeficientes:
\int_{0}^{1}\frac{1}{3}y^{5/2}\,dy = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{7}y^{7/2}\Big|_{0}^{1}=\frac{2}{21},
\int_{0}^{1}-\frac{1}{3}y^{7}\,dy = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}y^{8}\Big|_{0}^{1}=-\frac{1}{24},
\int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}-y^{6}\,dy = -\frac{1}{7}.
Somando:
\iiint_{E} x y\,dV = \frac{2}{21} - \frac{1}{24} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7}.

Passo 8

Fazer a soma das frações. Colocando denominador comum 168 (múltiplo de 21,24,4,7):
\frac{2}{21}=\frac{16}{168},\qquad -\frac{1}{24}=-\frac{7}{168},\qquad \frac{1}{4}=\frac{42}{168},\qquad -\frac{1}{7}=-\frac{24}{168}.
Somando numeradores:
16 - 7 + 42 - 24 = 27.
Logo
\iiint_{E} x y\,dV = \frac{27}{168} = \frac{9}{56}.

Resposta

\dfrac{9}{56}

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