Calcule as seguintes integrais triplas
2. \iiint_{E} x y d V, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos x=y^{2}, y=x^{2} e pelos planos x=0, z=x+2 y.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E} x y\,dV, onde E é limitado pelas superfícies:
os cilindros parabólicos \,x=y^{2} e \,y=x^{2};
o plano \,x=0;
o plano \,z=x+2y.
Observação sobre interpretação (importante para fechar a região): para que o sólido E seja realmente limitado em z é necessário um plano inferior em z. Vou adotar a interpretação convencional e mais provável para este tipo de exercício: o sólido E é a região sobre a porção do plano z=0 (plano xy) e abaixo do plano \,z=x+2y, projetada na região do plano xy delimitada pelas curvas \,x=y^{2} e \,y=x^{2} (e com x\ge0 por conta de x=y^2 e do plano x=0). Ou seja, estou assumindo
E=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\\\ 0\le z\le x+2y\},
onde D é a região do plano xy limitada por \,x=y^{2} e \,y=x^{2}.
O que se pede: calcular \displaystyle \iiint_{E} x y\,dV (valor numérico).
Passo 2
Entender a projeção D no plano xy. As curvas são \,x=y^{2} (parábola com abertura para a direita) e \,y=x^{2} (parábola com abertura para cima). Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos simultaneamente:
x=y^{2},\qquad y=x^{2}.
Substituindo x=y^{2} em y=x^{2} obtemos
y=(y^{2})^{2}=y^{4}.
Isso leva a
y^{4}-y=0\quad\Longrightarrow\quad y(y^{3}-1)=0.
Assim \,y=0 ou \,y=1. Para esses y correspondem x=y^{2}, então os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
Passo 3
Desenho mental da região D e escolha da ordem de integração. Para y entre 0 e 1 temos:
a curva \,x=y^{2} dá o valor da abscissa à esquerda;
a equação \,y=x^{2} pode ser escrita como \,x=\sqrt{y} (tomando a raiz positiva, pois estamos na região com x\ge0) e dá a abscissa à direita.
Essa escolha (integrar primeiro em x, depois em y) é conveniente porque os limites em x ficam simples (x vai de uma função de y até outra função de y).
Passo 4
Passar da integral tripla para uma dupla usando a integral em z. Como para cada (x,y)\in D temos 0\le z\le x+2y, integrando primeiro em z obtemos
\iiint_{E} x y\,dV =\iint_{D} \left(\int_{z=0}^{z=x+2y} x y\,dz\right)dA.
A integral interna em z é simples porque x y é constante em relação a z:
\int_{0}^{x+2y} x y\,dz = x y\cdot (x+2y).
Portanto
\iiint_{E} x y\,dV = \iint_{D} x y (x+2y)\,dA.
Passo 5
Escrever a integral dupla com os limites encontrados em D:
\iiint_{E} x y\,dV = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}} x y (x+2y)\,dx\,dy.
Antes de calcular, vamos expandir o integrando para facilitar a integração em x:
x y (x+2y) = x^{2}y + 2x y^{2}.
Passo 6
Calcular a integral interna em x. Para cada y fixo,