Considere a função F: R R definida por
F(x)=integralx^2^2 traize^t+1 d t
(a) Justifique que F é diferenciável e calcule F^prime(x).
(b) Mostre que F tem precisamente dois zeros e calcule-os.

Passo 1

O enunciado define a função F:RtoR por F(x)=integralx^2^2traize^t+1,dt. Precisamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para mostrar que F é diferenciável e obter F'(x), e depois analisar quando F(x)=0 para encontrar todos os zeros.

Passo 2

Para calcular F'(x), note que a integral tem o limite inferior variável x^2. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia, temos que derivar o limite e multiplicar pelo integrando avaliado nesse ponto, com sinal negativo:
F'(x)=-ddx(x^2)cdotx^2raize^x^2+1=-2xcdotx^2raize^x^2+1=-2x^3raize^x^2+1

Passo 3

Para achar os zeros, colocamos F(x)=0, ou seja
integralx^2^2traize^t+1,dt=0

Passo 4

Como a função t/raize^t+1 é contínua e não-negativa para t>=0, essa integral só pode ser zero quando os limites coincidirem, isto é quando x^2=2.

Passo 5

Logo, as únicas soluções de F(x)=0 são x=pmraiz2.

Resposta

F'(x)=-2x^3raize^x^2+1, e os zeros de F são x=raiz2 e x=-raiz2.

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