Considere a função
definida por
(a) Justifique que
é diferenciável e calcule
.
(b) Mostre que
tem precisamente dois zeros e calcule-os.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
por
. Precisamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para mostrar que
é diferenciável e obter
, e depois analisar quando
para encontrar todos os zeros.
Passo 2
Para calcular
, note que a integral tem o limite inferior variável
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia, temos que derivar o limite e multiplicar pelo integrando avaliado nesse ponto, com sinal negativo:
Passo 3
Para achar os zeros, colocamos
, ou seja
Passo 4
Como a função
é contínua e não-negativa para
, essa integral só pode ser zero quando os limites coincidirem, isto é quando
.
Passo 5
Logo, as únicas soluções de
são
.