Calcule a área sob a curva f(x)=x^{2}+2 no intervalo [0,1]. Verifique se o resultado faz sentido considerando as propriedades da função.

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva f(x)=x^{2}+2 no intervalo [0,1].
Conteúdo: integrais definidas e Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Precisamos de uma antiderivada F(x) de f(x). Pela regra do poder, para x^{n} temos antiderivada \frac{x^{n+1}}{n+1}, e para constante k temos antiderivada kx. Logo,
F(x)=\int \bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + 2x + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a área é
A = F(1)-F(0).
Calculando,
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+2\cdot1 = \frac{1}{3}+2 = \frac{7}{3}, \quad F(0)=\frac{0}{3}+2\cdot0 = 0,
logo
A = \frac{7}{3}-0 = \frac{7}{3}.

Passo 4

Verificação de consistência: como f(x)\ge2 em [0,1], a área mínima seria 2\cdot1=2. Nosso resultado \tfrac{7}{3}\approx2,33 é maior que 2, então faz sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

Exercícios relacionados