Calcule o limite usando a Regra de L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x)}{x} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}
utilizando a Regra de L’Hôpital, se necessário. Esse conteúdo envolve limites com forma indeterminada 0/0 e aplicação da regra de derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Vamos fazer a substituição direta para ver se há indeterminação: \sin(2\cdot0)=0 e o denominador x em x=0 também é 0. Portanto temos a forma
\frac{0}{0},
que é indeterminada e justifica usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que, se \lim_{x\to a} f(x)/g(x) é 0/0 ou \infty/\infty, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse último limite exista. Aqui f(x)=\sin(2x) e g(x)=x. Calculando as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), \quad g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
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\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{2\cos(2x)}{1} = 2\cos(0) = 2\cdot1 =2.

Resposta

2

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