Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=x^{2}, y=-(x+1)^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=x^{2} (parábola de “boca” para cima com vértice em (0,0)) e \,y=-(x+1)^{2}+1 (parábola de “boca” para baixo com vértice em (-1,1)). Para resolver, vamos (a) encontrar onde elas se cruzam, (b) esboçar qualitativamente esses dois vértices e concavidades, (c) determinar qual função fica por cima entre as interseções e (d) calcular a integral definida da diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
x^{2}=-(x+1)^{2}+1.
Desenvolvendo,
x^{2} + (x+1)^{2} -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + x^{2} +2x +1 -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2} +2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x+1)=0,
logo x=0 ou x=-1. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Esboço qualitativo:
  • A parábola \,y=x^{2} tem vértice em (0,0) e cresce para cima.
  • A parábola \,y=-(x+1)^{2}+1 tem vértice em (-1,1) e abre para baixo.
    Elas se cruzam em x=-1 e x=0, formando uma “lente” entre essas abscissas.

Passo 4

Para x\in[-1,0], avaliamos as funções em um ponto-teste (por exemplo x=-0,5):
x^{2}=0{,}25, \quad -(x+1)^{2}+1=-(0{,}5)^{2}+1=0{,}75,
logo a curva de cima é y=-(x+1)^{2}+1 e a de baixo é y=x^{2}. A área é
A = \int_{-1}^{0}\bigl[\,( -(x+1)^{2}+1 ) - x^{2}\bigr]\,dx.

Passo 5

Simplificamos o integrando:
-(x+1)^{2}+1 - x^{2} = -\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)+1 - x^{2} = -2x^{2}-2x.
Então
A = \int_{-1}^{0}(-2x^{2}-2x)\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral:
\int(-2x^{2}-2x)\,dx = -\tfrac{2}{3}x^{3} - x^{2}.
Avaliando de -1 a 0:
A = \Bigl[-\tfrac{2}{3}x^{3}-x^{2}\Bigr]_{-1}^{0} = \bigl(0\bigr) - \Bigl(-\tfrac{2}{3}\,(-1)^{3} -(-1)^{2}\Bigr) = -\bigl(-\tfrac{2}{3} -1\bigr) = -\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = \tfrac{5}{3}\times \tfrac{1}{?}.
Ops, ajustando: note que -\tfrac{2}{3}(-1)^{3}-(-1)^{2}=\tfrac{2}{3}-1=-\tfrac{1}{3},
então
A = 0 -\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{1}{3}.

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