Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
(parábola de “boca” para cima com vértice em
) e
(parábola de “boca” para baixo com vértice em
). Para resolver, vamos (a) encontrar onde elas se cruzam, (b) esboçar qualitativamente esses dois vértices e concavidades, (c) determinar qual função fica por cima entre as interseções e (d) calcular a integral definida da diferença.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
Desenvolvendo,
logo
ou
. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Esboço qualitativo:
- A parábola
tem vértice em e cresce para cima. - A parábola
tem vértice em e abre para baixo.
Elas se cruzam eme , formando uma “lente” entre essas abscissas.
Passo 4
Para
, avaliamos as funções em um ponto-teste (por exemplo
):
logo a curva de cima é
e a de baixo é
. A área é
Passo 5
Simplificamos o integrando:
Então
Passo 6
Calculamos a integral:
Avaliando de
a
:
Ops, ajustando: note que
,
então
então
Resposta
A área da região é
.