Para a função
:
a) Determine os intervalos de concavidade.
b) Encontre os pontos de inflexão, se existirem, e forneça suas coordenadas.
a) Determine os intervalos de concavidade.
b) Encontre os pontos de inflexão, se existirem, e forneça suas coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
pede (a) os intervalos em que a curva é côncava para cima ou para baixo, e (b) os pontos de inflexão. Vamos usar o critério da segunda derivada: onde
é concavidade para cima, onde
é concavidade para baixo, e pontos de inflexão ocorrem quando
com troca de sinal.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para depois obtermos a segunda:
Passo 3
Derivando novamente, obtemos
Passo 4
Determinamos onde
:
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
- Para
, tem-se , logo (côncavo para cima). - Para
, tem-se , logo (côncavo para baixo).
Passo 6
Como
muda de sinal em
, existem pontos de inflexão nessas abscissas. Calculamos a ordenada em cada uma:
Resposta
a) Concavidade:
côncava para baixo em ,
côncava para cima em .
côncava para baixo em
côncava para cima em
b) Pontos de inflexão: