Para a função f(x)=x^{4}-4 x^{2} :
a) Determine os intervalos de concavidade.
b) Encontre os pontos de inflexão, se existirem, e forneça suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-4x^{2},
pede (a) os intervalos em que a curva é côncava para cima ou para baixo, e (b) os pontos de inflexão. Vamos usar o critério da segunda derivada: onde f''(x)>0 é concavidade para cima, onde f''(x)<0 é concavidade para baixo, e pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 com troca de sinal.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para depois obtermos a segunda:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-4x^{2}\bigr) =4x^{3}-8x.

Passo 3

Derivando novamente, obtemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-8x\bigr) =12x^{2}-8.

Passo 4

Determinamos onde f''(x)=0:
12x^{2}-8=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 5

Analisamos o sinal de f''(x)=12x^{2}-8:
  • Para \lvert x\rvert>\sqrt{\tfrac{2}{3}}, tem-se 12x^{2}>8, logo f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para \lvert x\rvert<\sqrt{\tfrac{2}{3}}, tem-se 12x^{2}<8, logo f''(x)<0 (côncavo para baixo).

Passo 6

Como f''(x) muda de sinal em x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}, existem pontos de inflexão nessas abscissas. Calculamos a ordenada em cada uma:
f\!\Bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-4\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) =\frac{4}{9}-\frac{8}{3} =\frac{4-24}{9} =-\frac{20}{9}.

Resposta

a) Concavidade:
côncava para baixo em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr),
côncava para cima em \bigl(-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\infty\bigr).
b) Pontos de inflexão:
\Bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,-\tfrac{20}{9}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,-\tfrac{20}{9}\Bigr).

Exercícios relacionados