Nos itens seguintes, determine a região no plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções são satisfeitas.
y^{\prime}=\left(t^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a região no plano (t,y) onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) se satisfazem para a EDO
y' = (t^2 + y^2)^{3/2}.
Para aplicar esse teorema, precisamos que f(t,y)=(t^2+y^2)^{3/2} e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança de um ponto inicial qualquer (t_0,y_0).

Passo 2

Definimos
f(t,y) = (t^2 + y^2)^{3/2}.
O domínio natural dessa função é todo o plano \mathbb{R}^2, pois t^2+y^2\ge0 e a potência \tfrac32 está bem definida. Logo, f é contínua em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(t^2+y^2\bigr)^{3/2} = \frac{3}{2}\,(t^2+y^2)^{1/2}\cdot 2y = 3y\,(t^2 + y^2)^{1/2}.
Essa expressão também é contínua para todo (t,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 4

Como tanto f(t,y) quanto \partial f/\partial y são contínuas em todo o plano, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade estão satisfeitas em qualquer região aberta de \mathbb{R}^2.

Resposta

As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade valem em todo o plano \displaystyle \mathbb{R}^2.

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