Calcule a área sob as curvas paramétricas:
x=\cos t, y=\sin ^{2} t, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\sin^{2}t,\qquad 0\le t\le \pi,
e pede que calculemos a área “sob” a curva. Informações relevantes necessariamente extraídas do enunciado:
  • o parâmetro t varia de 0 a \pi;
  • as expressões de x(t) e y(t) são dadas acima;
  • a curva descrita por essas equações, ao variar t de 0 a \pi, vai de x=1 (quando t=0) até x=-1 (quando t=\pi) e tem y\ge0 nesse intervalo.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos para “área sob a curva” em parametrização e o que exatamente ela representa?
A área orientada (ou assinada) sob a curva, medida como a integral de y em relação a x, é dada por
A_{\text{assinada}}=\int y\,dx.
Para uma curva parametrizada por x=x(t) e y=y(t) com t variando de a a b, substituímos dx=x'(t)\,dt e obtemos a fórmula prática
A_{\text{assinada}}=\int_{a}^{b} y(t)\,x'(t)\,dt.
Explicação das variáveis: y(t) é a altura da curva no parâmetro t, x'(t) é a taxa de variação horizontal; o produto y(t)x'(t)\,dt mede o elemento orientado de área. Importante: esta integral dá uma área assinada — se a curva é percorrida da direita para a esquerda (isto é, x decresce), o resultado pode ser negativo; a área geométrica padrão (positiva) é o valor absoluto da integral quando estamos calculando “a área sob a curva” no sentido usual.

Passo 3

Aplicamos a fórmula paramétrica ao nosso caso. Primeiro calculamos a derivada de x:
x=\cos t \implies x'(t)=-\sin t.
Mantemos y(t)=\sin^{2}t.

Passo 4

Montamos a integral assinada usando A_{\text{assinada}}=\int_{0}^{\pi} y(t)\,x'(t)\,dt:
A_{\text{assinada}}=\int_{0}^{\pi} \sin^{2}t\cdot(-\sin t)\,dt = -\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt. Usamos a identidade \sin^{3}t=\sin t\,(1-\cos^{2}t) e fazemos a substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Transformando os limites: quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\,(1-\cos^{2}t)\,dt =\int_{u=1}^{u=-1}(1-u^{2})(-du) =\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora calculamos a integral em u:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\Big[u-\frac{u^{3}}{3}\Big]_{-1}^{1} =\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right) =\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.

Passo 6

Voltando ao passo anterior, temos
A_{\text{assinada}}=-\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt=-\frac{4}{3}.
Isto é a área assinada (negativa) porque a parametrização vai de x=1 para x=-1 (ou seja, da direita para a esquerda). A área geométrica usual “sob a curva” (positiva) é o valor absoluto:
A=\big|A_{\text{assinada}}\big|=\frac{4}{3}.
Como verificação rápida (para ganhar confiança): da relação x=\cos t segue x^{2}=\cos^{2}t e então y=\sin^{2}t=1-\cos^{2}t=1-x^{2}. A curva é a parábola y=1-x^{2} entre x=-1 e x=1. Integrando em x diretamente:
A=\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx=\Big[x-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{-1}^{1}=\frac{4}{3},
confirmação consistente.

Passo 7

Resumo final: a área geométrica positiva sob a curva parametrizada dada, entre os pontos correspondentes a t=0 e t=\pi, é \dfrac{4}{3}. Força — você chegou até aqui e fez o raciocínio certinho!

Resposta

\dfrac{4}{3}

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