Calcule a área sob as curvas paramétricas: x=\cos t, y=\sin ^{2} t, 0 \leq t \leq \pi
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\sin^{2}t,\qquad 0\le t\le \pi,
e pede que calculemos a área “sob” a curva. Informações relevantes necessariamente extraídas do enunciado:
o parâmetro t varia de 0 a \pi;
as expressões de x(t) e y(t) são dadas acima;
a curva descrita por essas equações, ao variar t de 0 a \pi, vai de x=1 (quando t=0) até x=-1 (quando t=\pi) e tem y\ge0 nesse intervalo.
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos para “área sob a curva” em parametrização e o que exatamente ela representa?
A área orientada (ou assinada) sob a curva, medida como a integral de y em relação a x, é dada por
A_{\text{assinada}}=\int y\,dx.
Para uma curva parametrizada por x=x(t) e y=y(t) com t variando de a a b, substituímos dx=x'(t)\,dt e obtemos a fórmula prática
A_{\text{assinada}}=\int_{a}^{b} y(t)\,x'(t)\,dt.
Explicação das variáveis: y(t) é a altura da curva no parâmetro t, x'(t) é a taxa de variação horizontal; o produto y(t)x'(t)\,dt mede o elemento orientado de área. Importante: esta integral dá uma área assinada — se a curva é percorrida da direita para a esquerda (isto é, x decresce), o resultado pode ser negativo; a área geométrica padrão (positiva) é o valor absoluto da integral quando estamos calculando “a área sob a curva” no sentido usual.
Passo 3
Aplicamos a fórmula paramétrica ao nosso caso. Primeiro calculamos a derivada de x:
x=\cos t \implies x'(t)=-\sin t.
Mantemos y(t)=\sin^{2}t.
Passo 4
Montamos a integral assinada usando A_{\text{assinada}}=\int_{0}^{\pi} y(t)\,x'(t)\,dt:
Calculamos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt. Usamos a identidade \sin^{3}t=\sin t\,(1-\cos^{2}t) e fazemos a substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Transformando os limites: quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
Isto é a área assinada (negativa) porque a parametrização vai de x=1 para x=-1 (ou seja, da direita para a esquerda). A área geométrica usual “sob a curva” (positiva) é o valor absoluto:
A=\big|A_{\text{assinada}}\big|=\frac{4}{3}.
Como verificação rápida (para ganhar confiança): da relação x=\cos t segue x^{2}=\cos^{2}t e então y=\sin^{2}t=1-\cos^{2}t=1-x^{2}. A curva é a parábola y=1-x^{2} entre x=-1 e x=1. Integrando em x diretamente:
Resumo final: a área geométrica positiva sob a curva parametrizada dada, entre os pontos correspondentes a t=0 e t=\pi, é \dfrac{4}{3}. Força — você chegou até aqui e fez o raciocínio certinho!