Calcule a área sob as curvas paramétricas:
x=t^{2}, y=t^{3}-3 t,-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t^{3}-3t,
no intervalo de parâmetro -2\le t\le 2. Pede-se calcular a área “sob as curvas paramétricas” para esse intervalo de t.
Informações relevantes extraídas do enunciado: x'(t) existe e o intervalo de integração é [-2,2]. Também é útil notar que y(t)=t(t^{2}-3) zera em t=0 e t=\pm\sqrt{3} (essa observação pode ajudar a entender onde a curva cruza o eixo x, mas não é essencial para o cálculo direto do integral indicado).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação bem didática): suponha que temos uma curva dada por x=x(t) e y=y(t). Para um pequeno incremento \Delta t a abscissa varia \Delta x\approx x'(t)\Delta t. A área de uma tirinha estreita, de largura \Delta x e altura aproximadamente y(t), é y(t)\,\Delta x. Somando essas tirinhas e passando ao limite, obtemos a integral
\text{Área (com sinal)}=\int_{t=a}^{t=b} y(t)\,dx=\int_{t=a}^{t=b} y(t)\,x'(t)\,dt.Á
Observações importantes sobre sinal: essa integral dá a “área com sinal” — positiva quando a curva está acima do eixo x e negativa quando está abaixo, levando em conta a orientação dada pelo aumento de t. Se você quiser a área geométrica positiva entre a curva e o eixo x, aí precisaríamos somar as áreas positivas (ou seja, tomar valor absoluto quando necessário). Primeiro vou calcular a integral usual \int y\,dx (o resultado com sinal) e depois explico o valor absoluto, caso prefira a área geométrica.

Passo 3

Calcule x'(t) e o integrando:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Portanto
y(t)\,x'(t)=(t^{3}-3t)\cdot(2t)=2t^{4}-6t^{2}.
Mostrei passo a passo: multipliquei cada termo de t^{3}-3t por 2t: t^{3}\cdot 2t=2t^{4} e -3t\cdot 2t=-6t^{2}.

Passo 4

Agora calculamos a integral no intervalo [-2,2]:
\int_{-2}^{2} \bigl(2t^{4}-6t^{2}\bigr)\,dt.
Observe que a função 2t^{4}-6t^{2} é par (ou seja, f(-t)=f(t)), então podemos usar simetria:
\int_{-2}^{2} \bigl(2t^{4}-6t^{2}\bigr)\,dt=2\int_{0}^{2} \bigl(2t^{4}-6t^{2}\bigr)\,dt.
Calcule a primitiva: \displaystyle\int (2t^{4}-6t^{2})\,dt=\frac{2t^{5}}{5}-2t^{3}+C. Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \bigl(2t^{4}-6t^{2}\bigr)\,dt=\left[\frac{2t^{5}}{5}-2t^{3}\right]_{0}^{2} =\left(\frac{2\cdot 2^{5}}{5}-2\cdot 2^{3}\right)-0 =\left(\frac{64}{5}-16\right).
\frac{64}{5}-16=\frac{64-80}{5}=-\frac{16}{5}.
Multiplicando por 2 (pela simetria):
\int_{-2}^{2} \bigl(2t^{4}-6t^{2}\bigr)\,dt=2\cdot\left(-\frac{16}{5}\right)=-\frac{32}{5}.
Portanto a área calculada pela fórmula \int y\,dx (ou seja, a área com sinal) é -\dfrac{32}{5}. O sinal negativo indica que, no balanço entre partes da curva acima e abaixo do eixo x (com a orientação dada por t crescendo), a contribuição abaixo do eixo predomina.

Passo 5

Interpretação final e área geométrica positiva: se o que você quer é a área geométrica (sempre positiva) entre a curva e o eixo x ao longo do traço para -2\le t\le 2, então normalmente tomamos o valor absoluto do resultado quando a integral não exige separação em subintervalos. Assim o valor absoluto da área é
\left|\,-\frac{32}{5}\right|=\frac{32}{5}.
Resumo prático: integral \int y\,dx deu -\dfrac{32}{5}; a área geométrica correspondente é \dfrac{32}{5}.

Resposta

Área (com sinal): -\dfrac{32}{5}
Área (valor absoluto / geométrica): \dfrac{32}{5}

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