Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b.
f(x)=3+sen x ; [a, b]=[pi, 3pi2]

Passo 1

A gente quer calcular a área sob o gráfico de f(x)=3+sin x de x=pi até x=tfrac3pi2, ou seja integralpi^3pi/2(3+sin x),dx.

Passo 2

Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: precisamos de uma primitiva de f. Como integral 3,dx = 3x e integral sin x,dx = -cos x, escolhemos F(x) = 3x - cos x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a área é
integralpi^3pi/2(3+sin x),dx = Fl(tfrac3pi2r) - F(pi)

Passo 4

Calculando as avaliações:
Fl(tfrac3pi2r) = 3cdottfrac3pi2 - cosl(tfrac3pi2r) = tfrac9pi2 - 0 = tfrac9pi2,
F(pi) = 3pi - cos(pi) = 3pi - (-1) = 3pi + 1

Passo 5

Subtraindo,
tfrac9pi2 - (3pi + 1) = tfrac9pi - 6pi2 - 1 = tfrac3pi2 - 1
Então essa é a área procurada.

Resposta

tfrac3pi2 - 1

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