Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva dada por no intervalo . O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva plana, usando a fórmula e por isso vamos precisar da derivada vetorial e do seu módulo.
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada vetorial: vec r,'(t)=ddtl(t,ln tr)=(1,tfrac1t)
Em seguida, achamos o módulo de vec r,"(t): llVertvec r,"(t)rrVert=raiz1^2+l(tfrac1tr)^2=raiz1+tfrac1t^2=raizt^2+1t"
Passo 3
Logo, o comprimento é L=integral1^eraizt^2+1t,dt
Passo 4
Para integrar integralraizt^2+1tdt, usamos o resultado padrão (ou substituição): integralraizt^2+1tdt=raizt^2+1-lnl(1+raizt^2+1tr)+C