Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
r(t)=t i+ln (t) j, 1 <= t <= e

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por vec r(t)=t,vec i+ln(t),vec j no intervalo 1<= t<= e. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva plana, usando a fórmula L=integrala^bllVertvec r,'(t)rrVert,dt e por isso vamos precisar da derivada vetorial e do seu módulo.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada vetorial: vec r,'(t)=ddtl(t,ln tr)=(1,tfrac1t)
Em seguida, achamos o módulo de vec r,"(t): llVertvec r,"(t)rrVert=raiz1^2+l(tfrac1tr)^2=raiz1+tfrac1t^2=raizt^2+1t"

Passo 3

Logo, o comprimento é L=integral1^eraizt^2+1t,dt

Passo 4

Para integrar integralraizt^2+1tdt, usamos o resultado padrão (ou substituição): integralraizt^2+1tdt=raizt^2+1-lnl(1+raizt^2+1tr)+C

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 1 a e:
$$L=\Bigl[\sqrt{t2+1}-\ln\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{t2+1}}{t}\Bigr)\Bigr]_{1}^{e}.
L=l[raizt^2+1-lnl(tfrac1+raizt^2+1tr)r]1^e L=\Bigl(\sqrt{e2+1}-\ln\bigl(\tfrac{1+\sqrt{e2+1}}{e}\bigr)\Bigr)-\Bigl(\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt2)\Bigr).
$$

Passo 6

Reorganizando e simplificando o logaritmo lnl(tfrac1+raize^2+1er)=ln(1+raize^2+1)-1, obtemos o resultado final abaixo.

Resposta

L=raize^2+1-raiz2+ln!l(e,(1+raiz2)1+raize^2+1r).

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