Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função h(t)= (t^2+1)/(t+1)^{10} usando regra da cadeia e propriedades de derivadas, em especial a regra do quociente.

Passo 2

Definimos u(t)=t^2+1t+1, de modo que h(t)=[u(t)]^10. Pela regra da cadeia,
h'(t)=10,[u(t)]^9cdot u'(t)

Passo 3

Agora precisamos de u'(t). Aplicando a regra do quociente,
u'(t)=(2t)(t+1)-1cdot(t^2+1)(t+1)^2=2t^2+2t-t^2-1(t+1)^2=t^2+2t-1(t+1)^2

Passo 4

Substituindo em h'(t)=10,[u(t)]^9,u'(t) e lembrando que u(t)=(t^2+1)/(t+1), obtemos
h'(t)=10(t^2+1t+1)^9cdott^2+2t-1(t+1)^2
e, ao juntar os denominadores,
h'(t)=10,(t^2+1)^9,(t^2+2t-1)(t+1)^11

Resposta

h'(t)=10,(t^2+1)^9,(t^2+2t-1)(t+1)^11

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