Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
r(t)=e^-t cos (t) i+e^-t sen(t) j+e^-t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por vec r(t)=e^-tcos(t),vec i+e^-tsin(t),vec j+e^-t,vec k no intervalo 0<= t<=1. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de curva, que usamos a fórmula L=integrala^bl|vec r,'(t)r|,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Derivando e^-tcos t e e^-tsin t e e^-t:
vec r,'(t)=l(-e^-t(cos t+sin t)r),vec i +l(e^-t(cos t-sin t)r),vec j +l(-e^-tr),vec k

Passo 3

Agora achamos a norma de vec r,'(t). Somando o quadrado das componentes:
|vec r,'(t)|^2=e^-2tl[(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2+1r]
Como
(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2=2(cos^2t+sin^2t)=2,
segue
|vec r,'(t)|^2=3e^-2t,
ou seja
|vec r,'(t)|=raiz3,e^-t

Passo 4

Finalmente integramos de 0 a 1:
L=integral0^1raiz3,e^-t,dt=raiz3l[-e^-tr]0^1=raiz3l(1-e^-1r)

Resposta

raiz3,l(1-e^-1r)

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