Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(y=\sqrt{\frac{x{2}-1}{x{2}+1}}\

Passo 1

Temos a função y=raizx^2-1x^2+1. O conteúdo envolve derivada de função composta e regra do quociente; vamos usar regra da cadeia e do quociente para encontrar y'.

Passo 2

Reescrevendo em potência fica y=l(tfracx^2-1x^2+1r)^1/2. Definimos u(x)=tfracx^2-1x^2+1, então y=u^1/2. Pela regra da cadeia: y'=tfrac12,u(x)^-1/2,u'(x)

Passo 3

Para calcular u'(x), aplicamos a regra do quociente em u(x)=tfracu1(x)v1(x) com u1(x)=x^2-1 e v1(x)=x^2+1. A regra do quociente diz: u'(x)=u1'(x),v1(x)-u1(x),v1'(x)[v1(x)]^2

Passo 4

Calculamos u1'(x)=2x e v1'(x)=2x. Substituindo, temos
u'(x)=2x(x^2+1)-(x^2-1),2x(x^2+1)^2=2xl[x^2+1-(x^2-1)r](x^2+1)^2=4x(x^2+1)^2

Passo 5

Substituindo u'(x) em y' e simplificando:
y'=tfrac12l(tfracx^2-1x^2+1r)^-1/2cdot4x(x^2+1)^2=2x(x^2+1)^2raizx^2+1x^2-1
Em seguida, combinando expoentes de x^2+1 numa só raiz:
y'=2x(x^2+1)^3/2raizx^2-1

Resposta

y'=2x(x^2+1)^3/2raizx^2-1

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