Calcule a área sob o gráfico de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se:
f(x) = (x - x^3) / 3, x = -1, x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a área debaixo do gráfico da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos ajuda a encontrar exatamente essa área entre dois pontos no gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que representa essa área. A integral definida de de a é:
Isso significa que vamos somar todas as pequenas áreas de retângulos infinitamente finos de até .

Passo 3

Vamos simplificar a função antes de integrar. Podemos separar os termos da fração:
Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de em relação a é :

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Isso significa que vamos avaliar essa expressão de até .

Passo 6

Vamos calcular para :
E para :

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados dos limites superiores e inferiores:

Resposta

A área sob o gráfico de entre e é 0. Isso acontece porque a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam.

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