Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a área debaixo do gráfico da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos ajuda a encontrar exatamente essa área entre dois pontos no gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que representa essa área. A integral definida de
de
a
é:
Isso significa que vamos somar todas as pequenas áreas de retângulos infinitamente finos de
até
.
Passo 3
Vamos simplificar a função antes de integrar. Podemos separar os termos da fração:
Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de
em relação a
é
:
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Isso significa que vamos avaliar essa expressão de
até
.
Passo 6
Vamos calcular para
:
E para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os resultados dos limites superiores e inferiores:
Resposta
A área sob o gráfico de
entre
e
é 0. Isso acontece porque a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam.