Calcule a área sob o gráfico da função f(t)=t no intervalo [a, b]

Passo 1

O problema pede para calcular a área sob o gráfico da função f(t)=t no intervalo [a,b]. O conteúdo envolve integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como obter a área como a diferença de uma antiderivada avaliada em b e em a.

Passo 2

Representamos a área A sob a curva de t=a até t=b pela integral definida
A = \int_{a}^{b} t \,\mathrm{d}t.

Passo 3

Precisamos encontrar uma antiderivada de t. Sabemos que, para uma potência,
\int t \,\mathrm{d}t = \frac{t^{2}}{2} + C.
Logo, uma antiderivada de f(t)=t é
F(t) = \frac{t^{2}}{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F em b e em a e fazemos a diferença:
A = F(b) - F(a) = \frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}.

Resposta

A = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}.

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