Considere a função \mathrm{z}=\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\ln (\mathrm{x}-2 \mathrm{y}), definida para todo (\mathrm{x}, \mathrm{y}) do plano, tal que \mathrm{x}>2 \mathrm{y}, e os pontos \mathrm{P}_{1}(3,1), \mathrm{P}_{2}(0,-3) e \mathrm{P}_{3}(-3,-2). Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas: \ln 1=0 ; \ln \mathrm{e}=1 e se \mathrm{a}, \mathrm{b}>0 então \ln \mathrm{a}=\ln \mathrm{b} se, somente se, \mathrm{a}=\mathrm{b}. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
a) Existe curva de nível em \mathrm{z}=-4 ? Caso afirmativo, obtenha uma equação para tal curva e apresente um ponto sobre ela.
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos P_{1} e P_{2} e faça um esboço delas no plano x y.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = f(x,y) = \ln(x - 2y)
com domínio definido por x - 2y > 0. Precisamos encontrar curvas de nível f(x,y)=k para certos valores de k e verificar sua existência, obter a equação explícita e indicar um ponto sobre elas. Em (a) fazemos isso para k=-4. Em (b) determinamos as curvas que passam por P_1(3,1) e por P_2(0,-3).

Passo 2

Para k=-4 a curva de nível satisfaz
\ln(x - 2y) = -4.
Pela propriedade da função logarítmica, isso equivale a
x - 2y = e^{-4}.
Como e^{-4}>0, a condição de domínio x-2y>0 está satisfeita, logo a curva existe e sua equação é
x - 2y = e^{-4}.

Passo 3

Para apresentar um ponto sobre essa curva, basta escolher um valor de y e calcular x. Por exemplo, tomemos y=0. Então
x - 2\cdot 0 = e^{-4} \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-4}.
Logo \bigl(e^{-4},0\bigr) é um ponto da curva \ln(x-2y)=-4.

Passo 4

Agora, para (b), primeiro calculamos o valor de k em cada ponto:
  • Em P_{1}(3,1):
f(3,1)=\ln\bigl(3-2\cdot1\bigr)=\ln(1)=0.
A curva de nível associada a P_1 é
\ln(x - 2y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 2y = 1.
  • Em P_{2}(0,-3):
f(0,-3)=\ln\bigl(0-2\cdot(-3)\bigr)=\ln(6).
A curva de nível associada a P_2 é
\ln(x - 2y) = \ln(6) \quad\Longrightarrow\quad x - 2y = 6.

Passo 5

Esboço no plano xy: ambas são retas paralelas de coeficiente angular 1/2.
  • A reta de P_1 intercepta o eixo x em (1,0) e o eixo y em (0,\tfrac12).
  • A reta de P_2 intercepta o eixo x em (6,0) e o eixo y em (0,3).

Resposta

a) Sim. A curva de nível z=-4 é
x - 2y = e^{-4},
por exemplo \bigl(e^{-4},0\bigr) pertence a ela.
b) A curva de nível que contém P_{1}(3,1) é
x - 2y = 1,
e a que contém P_{2}(0,-3) é
x - 2y = 6.

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