Considere a função
, definida para todo
do plano, tal que
, e os pontos
e
. Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas:
e se
então
se, somente se,
. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
a) Existe curva de nível em
? Caso afirmativo, obtenha uma equação para tal curva e apresente um ponto sobre ela.
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos
e
e faça um esboço delas no plano
.
a) Existe curva de nível em
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio definido por
. Precisamos encontrar curvas de nível
para certos valores de
e verificar sua existência, obter a equação explícita e indicar um ponto sobre elas. Em (a) fazemos isso para
. Em (b) determinamos as curvas que passam por
e por
.
Passo 2
Para
a curva de nível satisfaz
Pela propriedade da função logarítmica, isso equivale a
Como
, a condição de domínio
está satisfeita, logo a curva existe e sua equação é
Passo 3
Para apresentar um ponto sobre essa curva, basta escolher um valor de
e calcular
. Por exemplo, tomemos
. Então
Logo
é um ponto da curva
.
Passo 4
Agora, para (b), primeiro calculamos o valor de
em cada ponto:
- Em
:
A curva de nível associada a
é
- Em
:
A curva de nível associada a
é
Passo 5
Esboço no plano
: ambas são retas paralelas de coeficiente angular
.
- A reta de
intercepta o eixo em e o eixo em . - A reta de
intercepta o eixo em e o eixo em .
Resposta
a) Sim. A curva de nível
é
por exemplo
pertence a ela.
b) A curva de nível que contém
é
e a que contém
é