1. Calcule a área sob o gráfico de p(x)=x^{2} no intervalo [1,2] sabendo que a área no intervalo [0,1] vale \frac{1}{3} e no intervalo [0,2] vale \frac{8}{3}. Escreva essas áreas na forma de integrais.

Passo 1

O enunciado dá a função p(x)=x^{2} e pede duas coisas:
  • Calcular a área sob o gráfico de p(x)=x^{2} no intervalo [1,2].
  • Escrever as áreas mencionadas na forma de integrais.
As informações fornecidas são:
  • A área no intervalo [0,1] vale \dfrac{1}{3}.
  • A área no intervalo [0,2] vale \dfrac{8}{3}.
O que precisamos devolver: expressar essas áreas como integrais e obter a área em [1,2].

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): a área sob a curva de uma função f(x) entre a e b é dada pela integral definida \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx. Assim, podemos escrever imediatamente as áreas que o enunciado deu na forma de integrais:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3}.
Outra propriedade básica e superútil em provas (muito usada): a integral é aditiva em intervalos contíguos. Ou seja, para qualquer função f integrável e pontos a\le b\le c,
\int_{a}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx.
Aqui podemos aplicar essa propriedade com a=0, b=1 e c=2 para relacionar as três áreas:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \int_{1}^{2} x^{2}\,dx.

Passo 3

Usando a igualdade do passo anterior, isolamos a integral que queremos:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \int_{0}^{2} x^{2}\,dx - \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Substituindo os valores fornecidos:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
Isso já resolve a questão usando apenas a propriedade de aditividade e os valores dados.

Passo 4

Para consolidar a técnica e ensinar como calcular isso “do zero” na prova (caso não deem os valores), usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F(x) é uma primitiva de f(x) (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, uma primitiva de x^{2} é F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}. Aplicando o teorema:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Também dá para conferir que \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} e \int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}, concordando com os dados do enunciado.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}
\displaystyle \int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3}
\displaystyle \int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \frac{7}{3}

Exercícios relacionados