Calcule \iint_{R} x^{2} y^{3} d A onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=\frac{1}{x} e pelas retas y=1 e y=2.
Escolha uma opção:
\frac{1}{3}
◯ 1
◯ 3
\frac{2}{3}
\frac{1}{5}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA,
onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=\dfrac{1}{x} e pelas retas y=1 e y=2.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • As retas horizontais são y=1 e y=2.
  • A curva é y=\dfrac{1}{x}, que pode ser escrita como x=\dfrac{1}{y} (útil para descrever R em termos de y).
  • Interseções úteis: \text{com } y=1: \; x=\frac{1}{1}=1, \qquad \text{com } y=2: \; x=\frac{1}{2}.
  • Como a região está no primeiro quadrante e é delimitada por essas três curvas, para cada y com 1\le y\le 2 o x varia desde o eixo y (isto é, x=0) até a curva x=\dfrac{1}{y}. Portanto podemos descrever R=\left\{(x,y)\\ \bigm|\\\ 1\le y\le 2,\\\ 0\le x\le \frac{1}{y}\right\}.

Passo 2

Escolhemos calcular a integral como uma iterada na ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y). A razão é que, com a descrição de R do passo anterior, os limites em x são expressos facilmente em função de y.
Escrevendo a integral iterada:
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{1/y} x^{2}y^{3}\,dx\right)dy.
Aqui a ideia é: para cada y fixo, integrar x^{2}y^{3} em x de 0 a 1/y, e depois integrar o resultado em y de 1 a 2.

Passo 3

Calcular a integral interna em x. Observação importante: ao integrar em x, y é constante, então y^{3} sai da integral:
\int_{x=0}^{1/y} x^{2}y^{3}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1/y} x^{2}\,dx.
Agora usar a fórmula de antiderivada: \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}. Aplicando nos limites:
y^{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/y} = y^{3}\cdot\frac{(1/y)^{3}}{3} = y^{3}\cdot\frac{1}{3y^{3}} = \frac{1}{3}.
Repare que os y^{3} se cancelam, deixando uma constante \dfrac{1}{3} que não depende de y.

Passo 4

Agora integrar o resultado constante em y de 1 a 2:
\int_{y=1}^{2} \frac{1}{3}\,dy = \frac{1}{3}\left[y\right]_{1}^{2} = \frac{1}{3}(2-1) = \frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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