Calcule \iint_{R} x^{2} y^{3} d A onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=\frac{1}{x} e pelas retas y=1 e y=2.
Escolha uma opção:
◯ \frac{1}{3}
◯ 1
◯ 3
◯ \frac{2}{3}
◯ \frac{1}{5}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA,
onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=\dfrac{1}{x} e pelas retas y=1 e y=2.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
As retas horizontais são y=1 e y=2.
A curva é y=\dfrac{1}{x}, que pode ser escrita como x=\dfrac{1}{y} (útil para descrever R em termos de y).
Como a região está no primeiro quadrante e é delimitada por essas três curvas, para cada y com 1\le y\le 2 o x varia desde o eixo y (isto é, x=0) até a curva x=\dfrac{1}{y}. Portanto podemos descreverR=\left\{(x,y)\\ \bigm|\\\ 1\le y\le 2,\\\ 0\le x\le \frac{1}{y}\right\}.
Passo 2
Escolhemos calcular a integral como uma iterada na ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y). A razão é que, com a descrição de R do passo anterior, os limites em x são expressos facilmente em função de y.