Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a in x=b: f(x)=raizx+1,[a, b]=[0,4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico de f(x)=raizx+1 no intervalo [0,4]. O conteúdo aqui é integral definida e área sob a curva, e vamos usar a definição de integral como soma de retângulos e a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

A área sob a curva de f de x=0 a x=4 é dada por
Área = integral0^4l(raizx+1r),dxÁ
Para resolver essa integral, aplicamos as regras: integral x^1/2,dx = tfrac23x^3/2 e integral 1,dx = x. Assim, uma antiderivada de f(x) é
$$
F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + x
$$

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 0 a 4:
F(4) - F(0) = l(23cdot4^3/2 + 4r) - l(23cdot0^3/2 + 0r)
Como 4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8, temos
F(4) = 23cdot8 + 4 = 163 + 4
Convertendo 4 em terços, 4=tfrac123, obtemos
$$\frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{28}{3}
$$

Resposta

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