Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b, esboçando cada região, se:
f(x)=ln (x), x=1, x=e ;

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=1 e x=e para f(x)=ln(x). Isso envolve o cálculo de uma integral definida, aplicando técnicas de integração (integração por partes).

Passo 2

Para visualizar, considere o esboço: o gráfico de ln(x) passa por (1,0) e por (e,1), ficando acima do eixo x nesse intervalo. A região buscada é limitada pelas retas verticais x=1 e x=e, pelo eixo x e pela curva y=ln(x).

Passo 3

Montamos a integral que dá a área:
A = integral1^e ln(x),dx

Passo 4

Calculamos essa integral por partes, escolhendo u=ln(x) e dv=dx. Então
du = 1x,dx, v = x,
e
integral ln(x),dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x
Avaliando de 1 a e:
A = l[xln(x) - xr]1^e = l(ecdot1 - er) - l(1cdot0 - 1r) = (e - e) - (0 - 1) = 1

Resposta

A área sob o gráfico de y=ln(x) entre x=1 e x=e é 1.

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