1. Sobre o Polinômio de Taylor de grau 2 de uma funçã comp<=ment^2.
Suponha que f é derivável no intervalo ] p-r, p+r[(com r>0) e que existe f^prime prime(p). Suponha que:
P(x)=f(p)+f^prime(p)(x-p)+a(x-p)^2
seja uma uma boa aproximação para f em torno de p, isto é, ao escrever: E(x)=f(x)-P(x), vale:
lim x p E(x)(x-p)^2=0
Mostre que a=f^prime prime(p)2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o coeficiente a em
P(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+a(x-p)^2
de modo que, se definirmos o erro
E(x)=f(x)-P(x),
tenhamos
limxto pE(x)(x-p)^2=0
O conteúdo usado será a definição de derivada segunda e, em particular, um limite do tipo ``0/0'' que podemos avaliar por regra de L’Hôpital.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
E(x)(x-p)^2 =f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)-a(x-p)^2(x-p)^2 =f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)(x-p)^2-a

Passo 3

Defina
N(x)=f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)
Então
E(x)(x-p)^2 =N(x)(x-p)^2-a

Passo 4

Para encontrar limxto pN(x)(x-p)^2, note que N(p)=0 e N'(x)=f'(x)-f'(p). Como o denominador também se anula em x=p, aplicamos L’Hôpital:
limxto pN(x)(x-p)^2 =limxto pN'(x)2(x-p) =limxto pf'(x)-f'(p)2(x-p) =f''(p)2

Passo 5

Pela condição do enunciado temos
0=limxto pE(x)(x-p)^2 =limxto pl(N(x)(x-p)^2-ar) =f''(p)2-a
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a=f''(p)2

Resposta

a=f''(p)2

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